Раздел I. Введение в анализ — § 5

Демидович § 5. Предел функции

Условия, ответы и подробные решения задач 381–644

Задачи 381–644

268 из 268 с разбором

Логарифмические пределы

529–540

Задача 531

Вычислить пределlim⁡x→aln⁡x−ln⁡ax−a,a>0\lim_{x\to a}\frac{\ln x-\ln a}{x-a},
\qquad a>0

Задача 532

Вычислить пределlim⁡x→+∞[sin⁡ln⁡(x+1)−sin⁡ln⁡x]\lim_{x\to+\infty}[\sin\ln(x+1)-\sin\ln x]

Задача 533

Вычислить пределlim⁡x→+∞ln⁡(x2−x+1)ln⁡(x10+x+1)\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln(x^2-x+1)}{\ln(x^{10}+x+1)}

Задача 534

Вычислить пределlim⁡x→∞lg⁡(100+x21+100x2)\lim_{x\to\infty}
\lg\left(\frac{100+x^2}{1+100x^2}\right)

Задача 535

Вычислить пределlim⁡x→+∞ln⁡(2+e3x)ln⁡(3+e2x)\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln(2+e^{3x})}{\ln(3+e^{2x})}

Задача 536

Вычислить пределlim⁡x→+∞ln⁡(1+x+x3)ln⁡(1+x3+x4)\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln(1+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}
{\ln(1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x})}

Задача 537

Вычислить пределlim⁡h→0log⁡(x+h)+log⁡(x−h)−2log⁡xh2,x>0\lim_{h\to0}
\frac{\log(x+h)+\log(x-h)-2\log x}{h^2},
\qquad x>0

Задача 538

Вычислить пределlim⁡x→0ln⁡tg⁡(π4+ax)sin⁡bx\lim_{x\to0}
\frac{\ln\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+ax\right)}
{\sin bx}

Задача 539

Вычислить пределlim⁡x→0ln⁡cos⁡axln⁡cos⁡bx\lim_{x\to0}
\frac{\ln\cos ax}{\ln\cos bx}

Задача 540.1

Вычислить пределlim⁡x→0ln⁡nx+1−n2x2x+1−x2\lim_{x\to0}
\ln\frac{nx+\sqrt{1-n^2x^2}}
{x+\sqrt{1-x^2}}

Задача 540.2

Вычислить пределlim⁡x→0ln⁡(nx+1−n2x2)ln⁡(x+1−x2)\lim_{x\to0}
\frac{\ln(nx+\sqrt{1-n^2x^2})}
{\ln(x+\sqrt{1-x^2})}

Показательные и степенные пределы

541–560

Задача 541

Вычислить пределlim⁡x→0ax−1x,a>0\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x},
\qquad a>0

Задача 542

Вычислить пределlim⁡x→aax−xax−a,a>0\lim_{x\to a}\frac{a^x-x^a}{x-a},
\qquad a>0

Задача 543

Вычислить пределlim⁡x→axx−aax−a,a>0\lim_{x\to a}\frac{x^x-a^a}{x-a},
\qquad a>0

Задача 544

Вычислить пределlim⁡x→0(x+ex)1/x\lim_{x\to0}(x+e^x)^{1/x}

Задача 545.1

Вычислить пределlim⁡x→0(1+x 2x1+x 3x)1/x2\lim_{x\to0}
\left(\frac{1+x\,2^x}{1+x\,3^x}\right)^{1/x^2}

Задача 545.2

Вычислить пределlim⁡x→0(1+sin⁡xcos⁡αx1+sin⁡xcos⁡βx)ctg⁡3x\lim_{x\to0}
\left(
\frac{1+\sin x\cos\alpha x}
{1+\sin x\cos\beta x}
\right)^{\operatorname{ctg}^3x}

Задача 545.3

Вычислить пределlim⁡x→1sin⁡(πxα)sin⁡(πxβ)\lim_{x\to1}
\frac{\sin(\pi x^\alpha)}{\sin(\pi x^\beta)}

Задача 545.4

Вычислить пределlim⁡x→1sin⁡2(π 2x)ln⁡[cos⁡(π 2x)]\lim_{x\to1}
\frac{\sin^2(\pi\,2^x)}{\ln[\cos(\pi\,2^x)]}

Задача 546

Вычислить пределlim⁡n→∞tg⁡n(π4+1n)\lim_{n\to\infty}
\operatorname{tg}^n\left(\frac{\pi}{4}+\frac1n\right)

Задача 547

Вычислить пределlim⁡x→0eαx−eβxsin⁡αx−sin⁡βx\lim_{x\to0}
\frac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}
{\sin\alpha x-\sin\beta x}

Задача 548

Вычислить пределlim⁡x→axα−aαxβ−aβ,a>0\lim_{x\to a}
\frac{x^\alpha-a^\alpha}{x^\beta-a^\beta},
\qquad a>0

Задача 549

Вычислить пределlim⁡x→bax−abx−b,a>0\lim_{x\to b}\frac{a^x-a^b}{x-b},
\qquad a>0

Задача 550

Вычислить пределlim⁡h→0ax+h+ax−h−2axh2,a>0\lim_{h\to0}
\frac{a^{x+h}+a^{x-h}-2a^x}{h^2},
\qquad a>0

Задача 551

Вычислить пределlim⁡x→+∞(x+a)x+a(x+b)x+b(x+a+b)2x+a+b\lim_{x\to+\infty}
\frac{(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}}
{(x+a+b)^{2x+a+b}}

Задача 552

Вычислить пределlim⁡n→∞n(xn−1),x>0\lim_{n\to\infty}n\left(\sqrt[n]{x}-1\right),
\qquad x>0

Задача 553

Найти пределlim⁡n→∞n2(xn−xn+1),x>0\lim_{n\to\infty}n^2
\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right),
\qquad x>0

Задача 554

Найти пределlim⁡n→∞(a−1+bna)n,a>0,b>0\lim_{n\to\infty}
\left(\frac{a-1+\sqrt[n]{b}}{a}\right)^n,
\qquad a>0,\quad b>0

Задача 555

Найти пределlim⁡n→∞(an+bn2)n,a>0,b>0\lim_{n\to\infty}
\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}2\right)^n,
\qquad a>0,\quad b>0

Задача 556

Найти пределlim⁡x→0(ax+bx+cx3)1/x,a>0,b>0,c>0\lim_{x\to0}
\left(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{1/x},
\qquad a>0,\quad b>0,\quad c>0

Задача 557

Найти пределlim⁡x→0(ax+1+bx+1+cx+1a+b+c)1/x,a>0,b>0,c>0\lim_{x\to0}
\left(
\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}
\right)^{1/x},
\qquad a>0,\quad b>0,\quad c>0

Задача 558

Найти пределlim⁡x→0(ax2+bx2ax+bx)1/x,a>0,b>0\lim_{x\to0}
\left(\frac{a^{x^2}+b^{x^2}}{a^x+b^x}\right)^{1/x},
\qquad a>0,\quad b>0

Задача 559

Найти пределlim⁡x→0ax2−bx2(ax−bx)2,a>0,b>0\lim_{x\to0}
\frac{a^{x^2}-b^{x^2}}{(a^x-b^x)^2},
\qquad a>0,\quad b>0

Задача 560

Найти пределlim⁡x→aaax−axaax−xa,a>0\lim_{x\to a}
\frac{a^{a^x}-a^{x^a}}{a^x-x^a},
\qquad a>0

Сравнение скоростей роста функций

561–565

Задача 561

Найти пределы:а) lim⁡x→−∞ln⁡(1+3x)ln⁡(1+2x)б) lim⁡x→+∞ln⁡(1+3x)ln⁡(1+2x)\begin{aligned}
\text{а) }&\lim_{x\to-\infty}
\frac{\ln(1+3^x)}{\ln(1+2^x)}\\
\text{б) }&\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln(1+3^x)}{\ln(1+2^x)}
\end{aligned}

Задача 562

Найти пределlim⁡x→+∞ln⁡(1+2x)ln⁡(1+3x)\lim_{x\to+\infty}
\ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac3x\right)

Задача 563

Найти пределlim⁡x→1(1−x)log⁡x2\lim_{x\to1}(1-x)\log_x2

Задача 564

Доказать, что при a>1a>1 и n>0n>0lim⁡x→+∞xnax=0\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{a^x}=0

Задача 565

Доказать, что при a>1a>1 и ε>0\varepsilon>0lim⁡x→+∞log⁡axxε=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\log_a x}{x^\varepsilon}=0

Пределы комбинированных выражений

566–575

Задача 566

Найти пределы:а) lim⁡x→0ln⁡(x2+ex)ln⁡(x4+e2x)б) lim⁡x→+∞ln⁡(x2+ex)ln⁡(x4+e2x)\begin{aligned}
\text{а) }&\lim_{x\to0}
\frac{\ln(x^2+e^x)}{\ln(x^4+e^{2x})}\\
\text{б) }&\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln(x^2+e^x)}{\ln(x^4+e^{2x})}
\end{aligned}

Задача 567

Найти пределlim⁡x→0ln⁡(1+xex)ln⁡(x+1+x2)\lim_{x\to0}
\frac{\ln(1+xe^x)}{\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}

Задача 568

Найти пределlim⁡x→+∞[(x+2)ln⁡(x+2)−2(x+1)ln⁡(x+1)+xln⁡x]\lim_{x\to+\infty}
\bigl[(x+2)\ln(x+2)-2(x+1)\ln(x+1)+x\ln x\bigr]

Задача 569

Найти пределlim⁡x→0+[ln⁡(xln⁡a)ln⁡(ln⁡(ax)ln⁡(x/a))],a>1\lim_{x\to0+}
\left[
\ln(x\ln a)
\ln\left(\frac{\ln(ax)}{\ln(x/a)}\right)
\right],
\qquad a>1

Задача 570

Найти пределlim⁡x→+∞(ln⁡x+x2+1x+x2−1⋅ln⁡−2x+1x−1)\lim_{x\to+\infty}
\left(
\ln\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}}
\cdot
\ln^{-2}\frac{x+1}{x-1}
\right)

Задача 571

Найти пределlim⁡x→01+xsin⁡x−1ex2−1\lim_{x\to0}
\frac{\sqrt{1+x\sin x}-1}{e^{x^2}-1}

Задача 572

Найти пределlim⁡x→0cos⁡(xex)−cos⁡(xe−x)x3\lim_{x\to0}
\frac{\cos(xe^x)-\cos(xe^{-x})}{x^3}

Задача 573

Найти пределlim⁡x→0(2ex/(x+1)−1)(x2+1)/x\lim_{x\to0}
\left(2e^{x/(x+1)}-1\right)^{(x^2+1)/x}

Задача 574

Найти пределlim⁡x→1(2−x)sec⁡(πx/2)\lim_{x\to1}(2-x)^{\sec(\pi x/2)}

Задача 575

Найти пределlim⁡x→π/21−sin⁡α+βx(1−sin⁡αx)(1−sin⁡βx),α>0,β>0\lim_{x\to\pi/2}
\frac{1-\sin^{\alpha+\beta}x}
{\sqrt{(1-\sin^\alpha x)(1-\sin^\beta x)}},
\qquad \alpha>0,\quad\beta>0

Гиперболические пределы

576–580

Задача 576

Найти пределы:а) lim⁡x→0sh⁡xx;б) lim⁡x→0ch⁡x−1x2;в) lim⁡x→0th⁡xx\text{а) }\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sh} x}{x};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{ch} x-1}{x^2};
\qquad
\text{в) }\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{th} x}{x}

Задачи 151–200 из 268