Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 534

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить предел

\lim_{x\to\infty} \lg\left(\frac{100+x^2}{1+100x^2}\right)

Ответ:

-2

Решение

Идея

Разделим числитель и знаменатель дроби под логарифмом на

x^2

\frac{100+x^2}{1+100x^2} =\frac{1+\frac{100}{x^2}}{100+\frac1{x^2}} \longrightarrow\frac1{100}

Функция

\lg t

непрерывна при

t>0

, поэтому

\begin{aligned} \lim_{x\to\infty} \lg\left(\frac{100+x^2}{1+100x^2}\right) &=\lg\frac1{100}=\\ &=\lg10^{-2}=-2\end{aligned}