Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 533

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить предел

\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x^2-x+1)}{\ln(x^{10}+x+1)}

Ответ:

\dfrac15

Решение

Вынесем старшие степени из-под логарифмов:

\begin{aligned} \ln(x^2-x+1) &=\ln\left[x^2\left(1-\frac1x+\frac1{x^2}\right)\right]=\\ &=2\ln x+o(1)\\ \ln(x^{10}+x+1) &=10\ln x+ \ln\left(1+\frac1{x^9}+\frac1{x^{10}}\right)=\\ &=10\ln x+o(1)\end{aligned}

Здесь добавочные логарифмы стремятся к нулю. Поэтому

\begin{aligned} \frac{\ln(x^2-x+1)}{\ln(x^{10}+x+1)} &=\frac{2\ln x+o(1)}{10\ln x+o(1)} \longrightarrow\frac15\end{aligned}