Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 533

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 533

Вычислить пределlim⁡x→+∞ln⁡(x2−x+1)ln⁡(x10+x+1)\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln(x^2-x+1)}{\ln(x^{10}+x+1)}
Ответ:15\dfrac15

Решение

Для x>0x>0 вынесем старшие степени:ln⁡(x2−x+1)=2ln⁡x+ln⁡(1−1/x+1/x2),ln⁡(x10+x+1)=10ln⁡x+ln⁡(1+1/x9+1/x10).\begin{aligned}
\ln(x^2-x+1)&=2\ln x+\ln(1-1/x+1/x^2),\\
\ln(x^{10}+x+1)&=10\ln x+\ln(1+1/x^9+1/x^{10}).
\end{aligned}Оба добавочных логарифма стремятся к нулю: их аргументы стремятся к 11, а переход для логарифма доказан оценками в №506. Делим числитель и знаменатель на ln⁡x\ln x:2+ln⁡(1−1/x+1/x2)ln⁡x10+ln⁡(1+1/x9+1/x10)ln⁡x.\frac{2+\dfrac{\ln(1-1/x+1/x^2)}{\ln x}}
{10+\dfrac{\ln(1+1/x^9+1/x^{10})}{\ln x}}.Каждая малая дробь стремится к нулю, поскольку её числитель стремится к нулю, а ln⁡x→+∞\ln x\to+\infty. Предел знаменателя равен 10≠010\ne0, поэтому210=15.\frac2{10}=\frac15.