Раздел I. Введение в анализ — § 4

Демидович § 4. Графическое изображение функции

Условия, ответы и подробные решения задач 237–380

Задачи 237–380

148 из 148 с разбором

Линейные функции

237–241

Задача 237

Построить график линейной однородной функцииy=axy=axпри a=0,12,1,2,−1a=0,\dfrac12,1,2,-1.

Задача 238

Построить график линейной функцииy=x+by=x+bпри b=0,1,2,−1b=0,1,2,-1.

Задача 239

Построить графики линейных функций:а) y=2x+3;б) y=2−0,1x;в) y=−x2−1\text{а) }y=2x+3;
\qquad
\text{б) }y=2-0{,}1x;
\qquad
\text{в) }y=-\frac{x}{2}-1

Задача 240

Температурный коэффициент линейного расширения железа
α=1,2⋅10−6 ∘C−1\alpha=1{,}2\cdot10^{-6}\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1}. Построить в подходящем
масштабе график функцииl=f(T)(−40 ∘C≤T≤100 ∘C)l=f(T)
\qquad
(-40\,{}^\circ\mathrm{C}\le T\le100\,{}^\circ\mathrm{C})где TT — температура и ll — длина железного стержня при
температуре TT, если l=100l=100 см при T=0 ∘CT=0\,{}^\circ\mathrm{C}.

Задача 241

По числовой оси движутся две материальные точки. Первая в начальный
момент времени t=0t=0 находилась на 2020 м влево от начала координат и
имела скорость v1=10v_1=10 м/с; вторая при t=0t=0 находилась на 3030 м
вправо от точки OO и имела скорость v2=−20v_2=-20 м/с. Построить графики
уравнений движения этих точек и найти время и место их встречи.

Графики многочленов

242–248

Задача 242

Построить графики целых рациональных функций 2-й степени (параболы):а) y=ax2при a=1,12,2,−1;\text{а) }y=ax^2\quad\text{при }a=1,\frac12,2,-1;б) y=(x−x0)2при x0=0,1,2,−1;\text{б) }y=(x-x_0)^2\quad\text{при }x_0=0,1,2,-1;в) y=x2+cпри c=0,1,2,−1\text{в) }y=x^2+c\quad\text{при }c=0,1,2,-1

Задача 243

Построить график квадратного трёхчленаy=ax2+bx+c,y=ax^2+bx+c,приведя его к видуy=y0+a(x−x0)2.y=y_0+a(x-x_0)^2.Рассмотреть примеры:а) y=8x−2x2;б) y=x2−3x+2;\text{а) }y=8x-2x^2;
\qquad
\text{б) }y=x^2-3x+2;в) y=−x2+2x−1;г) y=12x2+x+1.\text{в) }y=-x^2+2x-1;
\qquad
\text{г) }y=\dfrac12x^2+x+1.

Задача 244

Материальная точка брошена под углом α=45∘\alpha=45^\circ к плоскости
горизонта с начальной скоростью v0=600v_0=600 м/с. Построить график
траектории движения и найти наибольшую высоту подъёма и дальность полёта
(считать g≈10g\approx10 м/с2^2, сопротивлением воздуха пренебречь).
Построить графики целых рациональных функций степени выше второй:

Задача 245

y=x3+1.y=x^3+1.

Задача 246

y=(1−x2)(2+x).y=(1-x^2)(2+x).

Задача 247

y=x2−x4.y=x^2-x^4.

Задача 248

y=x(a−x)2(a+x)3,a>0.y=x(a-x)^2(a+x)^3,
\qquad a>0.

Рациональные функции и приложения

249–265
Построить графики дробно-линейных функций (гиперболы):

Задача 249

y=1xy=\dfrac1x

Задача 250

y=1−x1+xy=\dfrac{1-x}{1+x}

Задача 251

Построить график дробно-линейной функцииy=ax+bcx+d(ad−bc≠0, c≠0)y=\dfrac{ax+b}{cx+d}
\qquad
(ad-bc\ne0,\ c\ne0)приведя её к видуy=y0+mx−x0y=y_0+\dfrac{m}{x-x_0}Рассмотреть примерy=3x+22x−3y=\dfrac{3x+2}{2x-3}

Задача 252

Газ при давлении p0=1p_0=1 Па занимает объём V0=12V_0=12 м3^3.
Построить график изменения объёма VV газа в зависимости от давления
pp, если температура газа остаётся постоянной (закон Бойля–Мариотта).
Построить графики дробных рациональных функций:

Задача 253

y=x+1xy=x+\dfrac1x

Задача 254

y=x2+1xy=x^2+\dfrac1x(трезубец Ньютона).

Задача 255

y=x+1x2y=x+\dfrac1{x^2}

Задача 256

y=11+x2y=\dfrac1{1+x^2}(кривая Аньези).

Задача 257

y=2x1+x2y=\frac{2x}{1+x^2}(серпантин Ньютона)

Задача 258

y=11−x2y=\frac1{1-x^2}

Задача 259

y=x1−x2y=\frac{x}{1-x^2}

Задача 260

y=11+x−2x+11−xy=\frac1{1+x}-\frac2x+\frac1{1-x}

Задача 261

y=11+x−2x2+11−xy=\frac1{1+x}-\frac2{x^2}+\frac1{1-x}

Задача 262

y=(x+1)(x−2)(x−1)(x+2)y=\frac{(x+1)(x-2)}{(x-1)(x+2)}

Задача 263

Построить эскиз графика функцииy=ax2+bx+ca1x+b1(a1≠0)y=\frac{ax^2+bx+c}{a_1x+b_1}
\qquad(a_1\ne0)приведя её к видуy=kx+m+nx−x0y=kx+m+\frac{n}{x-x_0}Рассмотреть примерy=x2−4x+3x+1y=\frac{x^2-4x+3}{x+1}

Задача 264

Построить график изменения силы притяжения FF материальной точки,
находящейся на расстоянии xx от притягивающего центра, если F=10F=10 Н
при x=1x=1 м (закон Ньютона).

Задача 265

Согласно закону Ван-дер-Ваальса объём VV реального газа и его давление
pp при постоянной температуре связаны соотношением(p+aV2)(V−b)=c\left(p+\frac a{V^2}\right)(V-b)=cПостроить график функции p=p(V)p=p(V), если a=2a=2, b=0,1b=0{,}1 и c=10c=10.

Иррациональные и степенные функции

266–277
Построить графики иррациональных функций:

Задача 266

y=±−x−2y=\pm\sqrt{-x-2}(парабола).

Задача 267

y=±xxy=\pm x\sqrt{x}(парабола Нейля).

Задача 268

y=±12100−x2y=\pm\dfrac12\sqrt{100-x^2}(эллипс).

Задача 269

y=±x2−1y=\pm\sqrt{x^2-1}(гипербола).

Задача 270

y=±1−x1+xy=\pm\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}

Задача 271

y=±x100−x2y=\pm x\sqrt{100-x^2}

Задача 272

y=±xx10−xy=\pm x\sqrt{\dfrac{x}{10-x}}(циссоида).

Задача 273

y=±(x2−1)(9−x2)y=\pm\sqrt{(x^2-1)(9-x^2)}
Построить график степенной функции y=xny=x^n при:

Задача 274

а) n=1,3,5б) n=2,4,6\text{а) }n=1,3,5
\qquad
\text{б) }n=2,4,6

Задача 275

а) n=−1,−3б) n=−2,−4\text{а) }n=-1,-3
\qquad
\text{б) }n=-2,-4

Задача 276

Построить график радикала y=xmy=\sqrt[m]{x} при:а) m=2,4б) m=3,5\text{а) }m=2,4
\qquad
\text{б) }m=3,5

Задача 277

Построить график радикала y=xkmy=\sqrt[m]{x^k}, если:а) m=2,k=1б) m=2,k=3в) m=3,k=1\text{а) }m=2,k=1
\quad
\text{б) }m=2,k=3
\quad
\text{в) }m=3,k=1г) m=3,k=2д) m=3,k=4е) m=4,k=2ж) m=4,k=3\text{г) }m=3,k=2
\quad
\text{д) }m=3,k=4
\quad
\text{е) }m=4,k=2
\quad
\text{ж) }m=4,k=3

Показательные и логарифмические функции

278–283

Задача 278

Построить график сложной показательной функции y=axy=a^x приa=12,1,2,e,10a=\frac12,1,2,e,10

Задача 279

Построить график сложной показательной функции y=ey1y=e^{y_1}, если:а) y1=x2б) y1=−x2в) y1=1x\text{а) }y_1=x^2
\quad
\text{б) }y_1=-x^2
\quad
\text{в) }y_1=\frac1xг) y1=1x2д) y1=−1x2е) y1=2x1−x2\text{г) }y_1=\frac1{x^2}
\quad
\text{д) }y_1=-\frac1{x^2}
\quad
\text{е) }y_1=\frac{2x}{1-x^2}

Задача 280

Построить график логарифмической функцииy=log⁡axy=\log_a xприa=12, 2, e, 10a=\dfrac12,\ 2,\ e,\ 10

Задача 281

Построить графики функций:а) y=ln⁡(−x);б) y=−ln⁡x\text{а) }y=\ln(-x);
\qquad
\text{б) }y=-\ln x

Задача 282

Построить график сложной логарифмической функции y=ln⁡y1y=\ln y_1, если:а) y1=1+x2;б) y1=(x−1)(x−2)2(x−3)3\text{а) }y_1=1+x^2;
\qquad
\text{б) }y_1=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3в) y1=1−x1+x;г) y1=1x2;д) y1=1+ex\text{в) }y_1=\dfrac{1-x}{1+x};
\qquad
\text{г) }y_1=\dfrac1{x^2};
\qquad
\text{д) }y_1=1+e^x

Задача 283

Построить график функцииy=log⁡x2y=\log_x2

Графики тригонометрических функций

284–310

Задача 284

Построить график функции y=Asin⁡xy=A\sin x при A=1,10,−2A=1,10,-2.

Задача 285

Построить график функции y=sin⁡(x−x0)y=\sin(x-x_0), еслиx0=0,π4,π2,3π4,πx_0=0,\frac\pi4,\frac\pi2,\frac{3\pi}4,\pi

Задача 286

Построить график функции y=sin⁡nxy=\sin nx, если
n=1,2,3,12,13n=1,2,3,\frac12,\frac13.

Задачи 1–50 из 148