Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 554

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 554

Найти пределlim⁡n→∞(a−1+bna)n,a>0,b>0\lim_{n\to\infty}
\left(\frac{a-1+\sqrt[n]{b}}{a}\right)^n,
\qquad a>0,\quad b>0
Ответ:b1/ab^{1/a}

Решение

Идея

Так как
bn=1+ln⁡bn+o(1n)\sqrt[n]{b}=1+\dfrac{\ln b}{n}+o\left(\dfrac1n\right), то
(a−1+bna)n=(1+ln⁡ban+o(1n))n⟶e(ln⁡b)/a=b1/a\begin{aligned}
\left(\frac{a-1+\sqrt[n]{b}}a\right)^n
&=\left(1+\frac{\ln b}{an}
+o\left(\frac1n\right)\right)^n\longrightarrow e^{(\ln b)/a}=b^{1/a}
\end{aligned}
Демидович № 554 — решение и ответ