Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 554

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 554

Найти пределlim⁡n→∞(a−1+bna)n,a>0,b>0\lim_{n\to\infty}
\left(\frac{a-1+\sqrt[n]{b}}{a}\right)^n,
\qquad a>0,\quad b>0
Ответ:b1/ab^{1/a}

Решение

Основание можно записать в видеa−1+bna=1+un,un=bn−1a.\frac{a-1+\sqrt[n]b}{a}=1+u_n,\qquad u_n=\frac{\sqrt[n]b-1}{a}.Так как bn→1\sqrt[n]b\to1, имеем un→0u_n\to0, и основание положительно при достаточно большом nn.
Для аккуратной работы и с нулевыми приращениями введём обозначениеL(t)={ln⁡(1+t)/t,t≠0,1,t=0.L(t)=\begin{cases}\ln(1+t)/t,&t\ne0,\\1,&t=0.\end{cases}По №529 L(t)→1L(t)\to1 при t→0t\to0, а равенство ln⁡(1+t)=tL(t)\ln(1+t)=tL(t) верно и при t=0t=0.
Обозначим исходную степень через yny_n. Тогдаln⁡yn=nln⁡(1+un)=L(un) nun.\ln y_n=n\ln(1+u_n)=L(u_n)\,nu_n.По №552nun=1an(bn−1)⟶ln⁡ba.nu_n=\frac1a n(\sqrt[n]b-1)\longrightarrow\frac{\ln b}{a}.Следовательно, ln⁡yn→(ln⁡b)/a\ln y_n\to(\ln b)/a. Переходя от логарифма к числу, получаемyn⟶e(ln⁡b)/a=b1/a.y_n\longrightarrow e^{(\ln b)/a}=b^{1/a}.При b=1b=1 все unu_n равны нулю, а исходная степень равна 11; формула это также учитывает.