Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 542

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 542

Вычислить пределlim⁡x→aax−xax−a,a>0\lim_{x\to a}\frac{a^x-x^a}{x-a},
\qquad a>0
Ответ:aa(ln⁡a−1)a^a(\ln a-1)

Решение

Добавим и вычтем aaa^a:ax−xax−a=ax−aax−a−xa−aax−a\begin{aligned}
\frac{a^x-x^a}{x-a}
&=\frac{a^x-a^a}{x-a}
-\frac{x^a-a^a}{x-a}
\end{aligned}Для первой дроби имеемax−aax−a=aaax−a−1x−a⟶aaln⁡a\begin{aligned}
\frac{a^x-a^a}{x-a}
&=a^a\frac{a^{x-a}-1}{x-a}
\longrightarrow a^a\ln a
\end{aligned}Установим предел, который понадобится и далее. При γ≠0\gamma\ne0(1+h)γ−1h=eγln⁡(1+h)−1γln⁡(1+h)⋅γln⁡(1+h)h⟶γ\begin{aligned}
\frac{(1+h)^\gamma-1}{h}
&=\frac{e^{\gamma\ln(1+h)}-1}{\gamma\ln(1+h)}
\cdot\gamma\frac{\ln(1+h)}{h}\longrightarrow\gamma
\end{aligned}При γ=0\gamma=0 числитель тождественно равен нулю, поэтому формула
также верна.
Во второй дроби положим h=(x−a)/ah=(x-a)/a. Тогда x=a(1+h)x=a(1+h), иxa−aax−a=aa−1(1+h)a−1h⟶aa−1⋅a=aa\begin{aligned}
\frac{x^a-a^a}{x-a}
&=a^{a-1}\frac{(1+h)^a-1}{h}
\longrightarrow a^{a-1}\cdot a=a^a
\end{aligned}Следовательно,lim⁡x→aax−xax−a=aaln⁡a−aa=aa(ln⁡a−1)\lim_{x\to a}\frac{a^x-x^a}{x-a}
=a^a\ln a-a^a=a^a(\ln a-1)