Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 560

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 560

Найти пределlim⁡x→aaax−axaax−xa,a>0\lim_{x\to a}
\frac{a^{a^x}-a^{x^a}}{a^x-x^a},
\qquad a>0
Ответ:aaaln⁡aa^{a^a}\ln a

Решение

При a=1a=1 числитель равен 1−1=01-1=0, а знаменатель — 1−x1-x. Для x≠1x\ne1 дробь равна нулю, и предел равен 00.
Пусть a≠1a\ne1. Положим u=axu=a^x, v=xav=x^a. Около x=a>0x=a>0 оба основания положительны, и u,v→aau,v\to a^a. При u≠vu\ne v имеемau−avu−v=avau−v−1u−v.\frac{a^u-a^v}{u-v}=a^v\frac{a^{u-v}-1}{u-v}.Приращение u−vu-v стремится к нулю. По №541 последняя дробь стремится к ln⁡a\ln a, а av→aaaa^v\to a^{a^a}. Получаем предполагаемый ответ aaaln⁡aa^{a^a}\ln a.
Проверим, что исходная дробь определена в достаточно малой проколотой окрестности. Если a≠ea\ne e, по №542ax−xax−a⟶aa(ln⁡a−1)≠0.\frac{a^x-x^a}{x-a}\longrightarrow a^a(\ln a-1)\ne0.Значит, при малом x−a≠0x-a\ne0 знаменатель u−vu-v ненулевой. При a=ea=e положим z=x/ez=x/e. Тогдаln⁡u−ln⁡v=x−eln⁡x=e(z−1−ln⁡z)>0(z≠1)\ln u-\ln v=x-e\ln x=e(z-1-\ln z)>0\quad(z\ne1)по строгому неравенству ln⁡z<z−1\ln z<z-1 из №368в. Следовательно, здесь u≠vu\ne v также. Все случаи охвачены, иlim⁡x→aaax−axaax−xa=aaaln⁡a.\lim_{x\to a}\frac{a^{a^x}-a^{x^a}}{a^x-x^a}=a^{a^a}\ln a.При a=1a=1 эта формула тоже даёт нуль.