Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 560

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 560

Найти пределlim⁡x→aaax−axaax−xa,a>0\lim_{x\to a}
\frac{a^{a^x}-a^{x^a}}{a^x-x^a},
\qquad a>0
Ответ:aaaln⁡aa^{a^a}\ln a

Решение

Идея

Положим u=axu=a^x и v=xav=x^a. При x→ax\to a имеем u,v→aau,v\to a^a.
Если a≠1a\ne1, то в достаточно малой проколотой окрестности u≠vu\ne v и
aax−axaax−xa=avau−v−1u−v⟶aaaln⁡a\frac{a^{a^x}-a^{x^a}}{a^x-x^a}
=a^v\frac{a^{u-v}-1}{u-v}
\longrightarrow a^{a^a}\ln aЗдесь использован предел
lim⁡t→0at−1t=ln⁡a\lim\limits_{t\to0}\dfrac{a^t-1}{t}=\ln a. При a=1a=1 дробь
тождественно равна нулю, и найденная формула также даёт нуль.