Раздел I. Введение в анализ — § 2

Демидович § 2. Теория последовательностей

Условия, ответы и подробные решения задач 41–150

Задачи 41–150

110 из 110 с разбором

Определения пределов последовательностей

41–45

Задача 41

Пустьxn=nn+1(n=1,2,…).x_n=\frac{n}{n+1}\qquad(n=1,2,\ldots).Доказать, что lim⁡n→∞xn=1\lim\limits_{n\to\infty}x_n=1, определив для каждого ε>0\varepsilon>0 число N=N(ε)N=N(\varepsilon) такое, что ∣xn−1∣<ε|x_n-1|<\varepsilon, если n>Nn>N. Заполнить следующую таблицу:ε0,10,010,0010,0001…N\begin{array}{c|ccccc}
\varepsilon&0{,}1&0{,}01&0{,}001&0{,}0001&\ldots\\ \hline
N&&&&&
\end{array}

Задача 42

Доказать, что xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) есть бесконечно малая (т. е. имеет предел, равный 00), указав для всякого ε>0\varepsilon>0 число N=N(ε)N=N(\varepsilon) такое, что ∣xn∣<ε|x_n|<\varepsilon при n>Nn>N, если:а) xn=(−1)n+1n;б) xn=2nn3+1;\text{а) }x_n=\frac{(-1)^{n+1}}n;
\quad
\text{б) }x_n=\frac{2n}{n^3+1};в) xn=1n!;г) xn=(−1)n 0,999n.\text{в) }x_n=\frac1{n!};
\quad
\text{г) }x_n=(-1)^n\,0{,}999^n.Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:ε0,10,0010,0001…N\begin{array}{c|cccc}
\varepsilon&0{,}1&0{,}001&0{,}0001&\ldots\\ \hline
N&&&&
\end{array}

Задача 43

Доказать, что последовательности:а) xn=(−1)nn;б) xn=2n;в) xn=lg⁡(lg⁡n) (n≥2)\text{а) }x_n=(-1)^n n;
\quad
\text{б) }x_n=2^{\sqrt n};
\quad
\text{в) }x_n=\lg(\lg n)\ (n\ge2)имеют бесконечный предел при n→∞n\to\infty (т. е. являются бесконечно большими), определив для всякого E>0E>0 число N=N(E)N=N(E) такое, что ∣xn∣>E|x_n|>E при n>Nn>N. Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:E10100100010 000…N\begin{array}{c|ccccc}
E&10&100&1000&10\,000&\ldots\\ \hline
N&&&&&
\end{array}

Задача 44

Показать, что последовательностьxn=n(−1)n(n=1,2,…)x_n=n^{(-1)^n}\qquad(n=1,2,\ldots)не ограничена, однако не является бесконечно большой при n→∞n\to\infty.

Задача 45

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:а) lim⁡n→∞xn=∞;б) lim⁡n→∞xn=−∞;в) lim⁡n→∞xn=+∞.\text{а) }\lim_{n\to\infty}x_n=\infty;
\quad
\text{б) }\lim_{n\to\infty}x_n=-\infty;
\quad
\text{в) }\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty.

Вычисление пределов последовательностей

46–68
Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 46

lim⁡n→∞10000nn2+1.\lim_{n\to\infty}\frac{10000n}{n^2+1}.

Задача 47

lim⁡n→∞(n+1−n).\lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt n\bigr).

Задача 48

lim⁡n→∞n2sin⁡n!3n+1.\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{n^2\sin n!}}{n+1}.

Задача 49

lim⁡n→∞(−2)n+3n(−2)n+1+3n+1.\lim_{n\to\infty}\frac{(-2)^n+3^n}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}}.

Опирается на задачу 42

Задача 50

lim⁡n→∞1+a+a2+⋯+an1+b+b2+⋯+bn,(∣a∣<1, ∣b∣<1).\lim_{n\to\infty}\frac{1+a+a^2+\cdots+a^n}{1+b+b^2+\cdots+b^n},
\qquad (|a|<1,\ |b|<1).

Задача 51

lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2).\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n^2}+\frac2{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}\right).

Опирается на задачу 1

Задача 52

lim⁡n→∞∣1n−2n+3n−⋯+(−1)n−1nn∣.\lim_{n\to\infty}\left|\frac1n-\frac2n+\frac3n-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}n}{n}\right|.

Задача 53

lim⁡n→∞(12n3+22n3+⋯+(n−1)2n3).\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^2}{n^3}+\frac{2^2}{n^3}+\cdots+\frac{(n-1)^2}{n^3}\right).

Опирается на задачу 2

Задача 54

lim⁡n→∞(12n3+32n3+⋯+(2n−1)2n3).\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^2}{n^3}+\frac{3^2}{n^3}+\cdots+\frac{(2n-1)^2}{n^3}\right).

Опирается на задачу 1

Задача 55

lim⁡n→∞(12+322+523+⋯+2n−12n).\lim_{n\to\infty}\left(\frac12+\frac3{2^2}+\frac5{2^3}+\cdots+\frac{2n-1}{2^n}\right).

Задача 56

lim⁡n→∞(11⋅2+12⋅3+⋯+1n(n+1)).\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{n(n+1)}\right).

Задача 57

lim⁡n→∞(2 24 28⋯22n).\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt2\,\sqrt[4]2\,\sqrt[8]2\cdots\sqrt[2^n]2\right).

Опирается на задачу 7

Доказать следующее равенство:

Задача 58

lim⁡n→∞n2n=0.\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}=0.

Задача 59

lim⁡n→∞2nn!=0.\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n!}=0.

Задача 60

lim⁡n→∞nkan=0(a>1).\lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{a^n}=0\qquad(a>1).

Опирается на задачу 5

Задача 61

lim⁡n→∞ann!=0.\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0.При переходе к следующему номеру факториал получает новый множитель
n+1n+1, тогда как степень в числителе каждый раз умножается на одно и то же
фиксированное число aa. Поэтому отношение соседних модулей со временем
становится сколь угодно малым. Сначала отдельно разберём a=0a=0, а при
a≠0a\ne0 построим из этого отношения геометрическую оценку хвоста.

Задача 62

lim⁡n→∞nqn=0,\lim_{n\to\infty}nq^n=0,если ∣q∣<1|q|<1.

Опирается на задачу 60

Задача 63

lim⁡n→∞an=1(a>0).\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\qquad(a>0).

Опирается на задачу 7

Задача 64

lim⁡n→∞log⁡ann=0(a>1).\lim_{n\to\infty}\frac{\log_a n}{n}=0\qquad(a>1).Поместим каждое достаточно большое nn между соседними степенями
ama^m и am+1a^{m+1}. Тогда логарифм в числителе не превосходит m+1m+1, а
знаменатель не меньше ama^m. Полученное отношение уже оценивается с помощью
задачи 60, где показательный рост сравнивался с линейным.

Опирается на задачу 60

Задача 65

lim⁡n→∞nn=1.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.

Задача 66

lim⁡n→∞1n!n=0.\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt[n]{n!}}=0.

Задача 67

Какое выражение больше при достаточно больших nn:а) 100n+200 или 0,01n2?;\text{а) }100n+200\text{ или }0{,}01n^2?;б) 2n или n1000?;в) 1000n или n!?\text{б) }2^n\text{ или }n^{1000}?;
\qquad
\text{в) }1000^n\text{ или }n!?Огромные значения самих выражений вычислять не нужно: достаточно
показать, что отношение одного кандидата к другому стремится к нулю. Тогда
это отношение в конце концов станет меньше единицы и тем самым определит
порядок выражений.
а) Предел отношения вычислим непосредственно.
б) Используем результат задачи 60 о превосходстве
показательного роста над степенным.
в) Используем задачу 61, где степенной рост сравнивается с
факториальным.

Опирается на задачу 60, задачу 61

Задача 68

Доказать, чтоlim⁡n→∞(12⋅34⋯2n−12n)=0.\lim_{n\to\infty}\left(\frac12\cdot\frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}\right)=0.Указание. См. пример 9 б).

В оригинале указание отсылает к примеру 9б; нужная здесь верхняя оценка
уже независимо доказана в задаче 9б. Каждый множитель произведения положителен,
поэтому само произведение ограничено снизу нулём. Верхняя граница стремится
к нулю. Эти две оценки подсказывают сразу применить
теорему о зажатой последовательности.

Опирается на задачу 9

Число Эйлера e

69–76

Задача 69

Доказать, что последовательностьxn=(1+1n)n(n=1,2,…)x_n=\left(1+\frac1n\right)^n
\qquad(n=1,2,\ldots)монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательностьyn=(1+1n)n+1(n=1,2,…)y_n=\left(1+\frac1n\right)^{n+1}
\qquad(n=1,2,\ldots)монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий пределlim⁡n→∞(1+1n)n=lim⁡n→∞(1+1n)n+1=e.\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n
=
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n+1}=e.Указание. Составить отношения xn+1xn\frac{x_{n+1}}{x_n}, ynyn−1\frac{y_n}{y_{n-1}} и воспользоваться неравенством примера 7.

Опирается на задачу 7

Задача 70

Доказать, что0<e−(1+1n)n<3n(n=1,2,…).0<e-\left(1+\frac1n\right)^n<\frac3n
\qquad(n=1,2,\ldots).При каких значениях показателя nn выражение (1+1n)n\left(1+\frac1n\right)^n будет отличаться от числа ee меньше чем на 0,0010{,}001?

Опирается на задачу 5, задачу 69

Задача 71

Пусть pnp_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к +∞+\infty, и qnq_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к −∞-\infty (pn,qn∉[−1,0])(p_n,q_n\notin[-1,0]). Доказать, чтоlim⁡n→∞(1+1pn)pn=lim⁡n→∞(1+1qn)qn=e.\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{p_n}\right)^{p_n}
=
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{q_n}\right)^{q_n}=e.

Опирается на задачу 69

Задача 72

Зная, чтоlim⁡n→∞(1+1n)n=e,\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e,доказать, чтоlim⁡n→∞(1+1+12!+13!+⋯+1n!)=e.\lim_{n\to\infty}\left(1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots+\frac1{n!}\right)=e.Вывести отсюда формулуe=2+12!+13!+⋯+1n!+θnn! n,(*)e=2+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots+\frac1{n!}
+\frac{\theta_n}{n!\,n},
\tag{*}где 0<θn<10<\theta_n<1, и вычислить число ee с точностью до 10−510^{-5}.

Опирается на задачу 5, задачу 69

Задача 73

Доказать, что число ee иррационально.

Опирается на задачу 72

Задача 74

Доказать неравенства(ne)n<n!<e(n2)n.\left(\frac ne\right)^n<n!<e\left(\frac n2\right)^n.

Опирается на задачу 5, задачу 8, задачу 69

Задача 75

Доказать неравенства:а) 1n+1<ln⁡(1+1n)<1n,где n — любое натуральное число;\text{а) }\frac1{n+1}<\ln\left(1+\frac1n\right)<\frac1n, \quad\text{где }n\text{ — любое натуральное число};б) 1+α<eα,где α — вещественное число, отличное от нуля.\text{б) }1+\alpha<e^\alpha, \quad\text{где }\alpha\text{ — вещественное число, отличное от нуля}.

Опирается на задачу 69

Задача 76

Доказать, чтоlim⁡n→∞n(a1n−1)=ln⁡a(a>0),\lim_{n\to\infty}n\left(a^{\frac1n}-1\right)=\ln a\qquad(a>0),где ln⁡a\ln a есть логарифм числа aa при основании e=2,718…e=2{,}718\ldots .

Опирается на задачу 75

Признак Вейерштрасса

77–81
Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующей последовательности:

Задача 77

xn=p0+p110+⋯+pn10n(n=1,2,…),x_n=p_0+\frac{p_1}{10}+\cdots+\frac{p_n}{10^n}\qquad(n=1,2,\ldots),где pip_i (i=0,1,2,…)(i=0,1,2,\ldots) — целые неотрицательные числа, не превышающие 99, начиная с p1p_1.

Задача 78

xn=101⋅113⋯n+92n−1.x_n=\frac{10}{1}\cdot\frac{11}{3}\cdots\frac{n+9}{2n-1}.

Задача 79

xn=(1−12)(1−14)⋯(1−12n).x_n=\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac14\right)\cdots
\left(1-\frac1{2^n}\right).

Задача 80

xn=(1+12)(1+14)⋯(1+12n).x_n=\left(1+\frac12\right)\left(1+\frac14\right)\cdots
\left(1+\frac1{2^n}\right).

Опирается на задачу 75

Задача 81

x1=2,x2=2+2,…,xn=2+2+⋯+2⏟n корней,….x_1=\sqrt2,\qquad x_2=\sqrt{2+\sqrt2},\qquad
\ldots,\qquad
x_n=\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt2}}}_{n\text{ корней}},\qquad
\ldots .

Критерий Коши

82–88
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующей последовательности:

Задача 82

xn=a0+a1q+⋯+anqn,x_n=a_0+a_1q+\cdots+a_nq^n,где ∣ak∣<M|a_k|<M (k=0,1,2,…)(k=0,1,2,\ldots) и ∣q∣<1|q|<1.

Задача 83

xn=sin⁡12+sin⁡222+⋯+sin⁡n2n.x_n=\frac{\sin1}{2}+\frac{\sin2}{2^2}+\cdots+\frac{\sin n}{2^n}.

Задача 84

xn=cos⁡1!1⋅2+cos⁡2!2⋅3+⋯+cos⁡n!n(n+1).x_n=\frac{\cos1!}{1\cdot2}+\frac{\cos2!}{2\cdot3}+\cdots+\frac{\cos n!}{n(n+1)}.

Задача 85

xn=1+122+132+⋯+1n2.x_n=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{n^2}.Указание. Воспользоваться неравенством1n2<1n−1−1n(n=2,3,…).\frac1{n^2}<\frac1{n-1}-\frac1n\qquad(n=2,3,\ldots).

Задача 86

Говорят, что последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) имеет ограниченное изменение, если существует число CC такое, что∣x2−x1∣+∣x3−x2∣+⋯+∣xn−xn−1∣<C(n=2,3,…).|x_2-x_1|+|x_3-x_2|+\cdots+|x_n-x_{n-1}|<C
\quad(n=2,3,\ldots).Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится. Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения.

Задача 87

Сформулировать, что значит, что для данной последовательности не выполнен критерий Коши.

Задача 88

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательностиxn=1+12+13+⋯+1n.x_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n.

Опирается на задачу 87

Свойства сходящихся последовательностей

89–95

Задача 89

Доказать, что если последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) сходится, то любая ее подпоследовательность xpnx_{p_n} также сходится и имеет тот же самый предел:lim⁡n→∞xpn=lim⁡n→∞xn.\lim_{n\to\infty}x_{p_n}=\lim_{n\to\infty}x_n.

Задача 90

Доказать, что монотонная последовательность будет сходящейся, если сходится некоторая ее подпоследовательность.

Опирается на задачу 89

Задачи 1–50 из 110