Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 535

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить предел

\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(2+e^{3x})}{\ln(3+e^{2x})}

Ответ:

\dfrac32

Решение

Идея

В каждом логарифме вынесем преобладающую экспоненту:

\begin{aligned} \ln(2+e^{3x}) &=\ln\left[e^{3x}(1+2e^{-3x})\right]=\\ &=3x+\ln(1+2e^{-3x})\end{aligned}

И аналогично,

\ln(3+e^{2x})=2x+\ln(1+3e^{-2x})

После деления числителя и знаменателя на

x

получаем

\frac{3+\dfrac{\ln(1+2e^{-3x})}{x}} {2+\dfrac{\ln(1+3e^{-2x})}{x}} \longrightarrow\frac32