Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 535

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 535

Вычислить пределlim⁡x→+∞ln⁡(2+e3x)ln⁡(3+e2x)\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln(2+e^{3x})}{\ln(3+e^{2x})}
Ответ:32\dfrac32

Решение

В каждом логарифме вынесем преобладающую экспоненту:
ln⁡(2+e3x)=\displaystyle \ln(2+e^{3x})\mathrel{=}ln⁡[e3x(1+2e−3x)]=\displaystyle \ln\left[e^{3x}(1+2e^{-3x})\right]\mathrel{=}3x+ln⁡(1+2e−3x)\displaystyle 3x+\ln(1+2e^{-3x})И аналогично,ln⁡(3+e2x)=2x+ln⁡(1+3e−2x)\ln(3+e^{2x})=2x+\ln(1+3e^{-2x})После деления числителя и знаменателя на xx получаем3+ln⁡(1+2e−3x)x2+ln⁡(1+3e−2x)x⟶32\frac{3+\dfrac{\ln(1+2e^{-3x})}{x}}
{2+\dfrac{\ln(1+3e^{-2x})}{x}}
\longrightarrow\frac32