Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 536

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 536

Вычислить пределlim⁡x→+∞ln⁡(1+x+x3)ln⁡(1+x3+x4)\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln(1+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}
{\ln(1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x})}
Ответ:32\dfrac32

Решение

Вынесем под логарифмами старшие степени x1/2x^{1/2} и x1/3x^{1/3}:
ln⁡(1+x+x3)=ln⁡[x1/2(1+x−1/6+x−1/2)]=12ln⁡x+ln⁡(1+x−1/6+x−1/2)ln⁡(1+x3+x4)=ln⁡[x1/3(1+x−1/12+x−1/3)]=13ln⁡x+ln⁡(1+x−1/12+x−1/3)\begin{aligned}
\ln(1+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})
&=\ln\left[x^{1/2}
\left(1+x^{-1/6}+x^{-1/2}\right)\right]\\
&=\frac12\ln x+
\ln\left(1+x^{-1/6}+x^{-1/2}\right)\\
\ln(1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x})
&=\ln\left[x^{1/3}
\left(1+x^{-1/12}+x^{-1/3}\right)\right]\\
&=\frac13\ln x+
\ln\left(1+x^{-1/12}+x^{-1/3}\right)
\end{aligned}Делим числитель и знаменатель на ln⁡x\ln x и переходим к пределу:lim⁡x→+∞ln⁡(1+x+x3)ln⁡(1+x3+x4)=1/21/3=32\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln(1+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}
{\ln(1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x})}
=\frac{1/2}{1/3}=\frac32