Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 551

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить предел

\lim_{x\to+\infty} \frac{(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}} {(x+a+b)^{2x+a+b}}

Ответ:

e^{-(a+b)}

Решение

Идея

Для достаточно больших

x

все основания степеней положительны.
Обозначим исходное выражение через

y(x)

и положим

s=a+b

.
Тогда

Проверка

\begin{aligned} \ln y(x) &=(x+a)\ln(x+a)+(x+b)\ln(x+b)-\\ &\quad-(2x+s)\ln(x+s)\end{aligned}

В каждом логарифме вынесем

x

\begin{aligned} \ln y(x) &=(x+a)\ln\left(1+\frac ax\right) +(x+b)\ln\left(1+\frac bx\right)-\\ &\quad-(2x+s)\ln\left(1+\frac sx\right)\end{aligned}

Слагаемые с

\ln x

сократились, поскольку

(x+a)+(x+b)=2x+s

Для любого фиксированного

c\in\mathbb R

\begin{aligned} (x+c)\ln\left(1+\frac cx\right) &=c\left(1+\frac cx\right) \frac{\ln\left(1+\frac cx\right)}{c/x} \longrightarrow c\end{aligned}

При

c=0

это выражение тождественно равно нулю. Для третьего
слагаемого отдельно получаем

\begin{aligned} (2x+s)\ln\left(1+\frac sx\right) &=[2(x+s)-s]\ln\left(1+\frac sx\right)=\\ &=2(x+s)\ln\left(1+\frac sx\right) -s\ln\left(1+\frac sx\right)\longrightarrow2s\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}\ln y(x) &=a+b-2s=-(a+b)\end{aligned}

Переходя от логарифма к исходному выражению, получаем

\lim_{x\to+\infty}y(x)=e^{-(a+b)}