Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 540.1

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 540.1

Вычислить пределlim⁡x→0ln⁡nx+1−n2x2x+1−x2\lim_{x\to0}
\ln\frac{nx+\sqrt{1-n^2x^2}}
{x+\sqrt{1-x^2}}
Ответ:00

Решение

Обозначим Fc(x)=cx+1−c2x2F_c(x)=cx+\sqrt{1-c^2x^2}. При x→0x\to0 имеем
Fc(x)→1F_c(x)\to1, поэтому по предельному свойству логарифма, выведенному из оценок в №506
lim⁡x→0ln⁡Fn(x)F1(x)=ln⁡lim⁡x→0Fn(x)lim⁡x→0F1(x)=ln⁡1=0\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\ln\frac{F_n(x)}{F_1(x)}
&=\ln\frac{\lim\limits_{x\to0}F_n(x)}
{\lim\limits_{x\to0}F_1(x)}=\ln1=0
\end{aligned}