Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 539

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 539

Вычислить пределlim⁡x→0ln⁡cos⁡axln⁡cos⁡bx\lim_{x\to0}
\frac{\ln\cos ax}{\ln\cos bx}
Ответ:a2b2\dfrac{a^2}{b^2} при b≠0b\ne0; при
b=0b=0 выражение не определено

Решение

При b=0b=0 знаменатель равен ln⁡1=0\ln1=0 во всех точках, и выражение не определено. При b≠0b\ne0, a=0a=0 числитель равен нулю, поэтому предел равен 00.
Пусть a≠0a\ne0 и b≠0b\ne0. В достаточно малой окрестности нуля оба косинуса положительны. Делим логарифмы на квадраты их аргументов:ln⁡cos⁡axln⁡cos⁡bx=a2b2 ln⁡cos⁡ax(ax)2ln⁡cos⁡bx(bx)2.\frac{\ln\cos ax}{\ln\cos bx}
=\frac{a^2}{b^2}\,
\frac{\dfrac{\ln\cos ax}{(ax)^2}}
{\dfrac{\ln\cos bx}{(bx)^2}}.По №526 обе внутренние дроби стремятся к −1/2-1/2, причём предел знаменателя ненулевой. Значит,lim⁡x→0ln⁡cos⁡axln⁡cos⁡bx=a2b2.\lim_{x\to0}\frac{\ln\cos ax}{\ln\cos bx}=\frac{a^2}{b^2}.Формула охватывает и a=0a=0.
Демидович № 539 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика