Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 539

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 539

Вычислить пределlim⁡x→0ln⁡cos⁡axln⁡cos⁡bx\lim_{x\to0}
\frac{\ln\cos ax}{\ln\cos bx}
Ответ:a2b2\dfrac{a^2}{b^2} при b≠0b\ne0; при
b=0b=0 выражение не определено

Решение

Проверка

Пусть b≠0b\ne0. При x→0x\to0ln⁡cos⁡ax=−a2x22+o(x2)ln⁡cos⁡bx=−b2x22+o(x2)\begin{aligned}
\ln\cos ax
&=-\frac{a^2x^2}{2}+o(x^2)\\
\ln\cos bx
&=-\frac{b^2x^2}{2}+o(x^2)
\end{aligned}Следовательно,ln⁡cos⁡axln⁡cos⁡bx⟶a2b2\frac{\ln\cos ax}{\ln\cos bx}
\longrightarrow\frac{a^2}{b^2}Если b=0b=0, то знаменатель исходной дроби тождественно равен
ln⁡1=0\ln1=0, поэтому предел не определён.
Демидович № 539 — решение и ответ