Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 545.4

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 545.4

Вычислить пределlim⁡x→1sin⁡2(π 2x)ln⁡[cos⁡(π 2x)]\lim_{x\to1}
\frac{\sin^2(\pi\,2^x)}{\ln[\cos(\pi\,2^x)]}
Ответ:−2-2

Решение

Положим t=π(2x−2)t=\pi(2^x-2). При x→1x\to1 имеем t→0t\to0, причём
sin⁡(π2x)=sin⁡(2π+t)=sin⁡t,cos⁡(π2x)=cos⁡(2π+t)=cos⁡t\sin(\pi2^x)=\sin(2\pi+t)=\sin t,
\qquad
\cos(\pi2^x)=\cos(2\pi+t)=\cos tПоэтомуsin⁡2(π2x)ln⁡[cos⁡(π2x)]=sin⁡2tln⁡cos⁡t=(sin⁡t/t)2ln⁡cos⁡t/t2⟶1−1/2=−2\begin{aligned}
\frac{\sin^2(\pi2^x)}{\ln[\cos(\pi2^x)]}
&=\frac{\sin^2t}{\ln\cos t}
=\frac{(\sin t/t)^2}{\ln\cos t/t^2}\\
&\longrightarrow\frac{1}{-1/2}=-2
\end{aligned}