Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 548

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 548

Вычислить пределlim⁡x→axα−aαxβ−aβ,a>0\lim_{x\to a}
\frac{x^\alpha-a^\alpha}{x^\beta-a^\beta},
\qquad a>0
Ответ:αβaα−β\dfrac\alpha\beta a^{\alpha-\beta} при
β≠0\beta\ne0; при β=0\beta=0 выражение не определено

Решение

Предположим, что β≠0\beta\ne0, и положим h=(x−a)/ah=(x-a)/a.
Тогда h→0h\to0, x=a(1+h)x=a(1+h). Используем предел, установленный
в решении задачи №~542:
xα−aαxβ−aβ=aα−β(1+h)α−1(1+h)β−1=aα−β(1+h)α−1h(1+h)β−1h⟶αβaα−β\begin{aligned}
\frac{x^\alpha-a^\alpha}{x^\beta-a^\beta}
&=a^{\alpha-\beta}
\frac{(1+h)^\alpha-1}{(1+h)^\beta-1}
=a^{\alpha-\beta}
\frac{\dfrac{(1+h)^\alpha-1}{h}}
{\dfrac{(1+h)^\beta-1}{h}}
\longrightarrow\frac\alpha\beta a^{\alpha-\beta}
\end{aligned}Если β=0\beta=0, знаменатель исходной дроби тождественно равен нулю.