Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 561

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 561

Найти пределы:а) lim⁡x→−∞ln⁡(1+3x)ln⁡(1+2x)б) lim⁡x→+∞ln⁡(1+3x)ln⁡(1+2x)\begin{aligned}
\text{а) }&\lim_{x\to-\infty}
\frac{\ln(1+3^x)}{\ln(1+2^x)}\\
\text{б) }&\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln(1+3^x)}{\ln(1+2^x)}
\end{aligned}
Ответ:а) 00б) ln⁡3ln⁡2\frac{\ln3}{\ln2}

Решение

Пункт а). При x→−∞x\to-\infty числа 3x3^x и 2x2^x положительны и стремятся к нулю. Запишемln⁡(1+3x)ln⁡(1+2x)=ln⁡(1+3x)/3xln⁡(1+2x)/2x(32)x.\frac{\ln(1+3^x)}{\ln(1+2^x)}
=\frac{\ln(1+3^x)/3^x}{\ln(1+2^x)/2^x}\left(\frac32\right)^x.По №529 обе нормированные логарифмические дроби стремятся к 11. Последний множитель равен (2/3)−x(2/3)^{-x} и стремится к нулю. Поэтому предел равен 00.
Пункт б). При x→+∞x\to+\infty вынесем из аргументов логарифмов 3x3^x и 2x2^x:ln⁡(1+3x)=xln⁡3+ln⁡(1+3−x),ln⁡(1+2x)=xln⁡2+ln⁡(1+2−x).\begin{aligned}
\ln(1+3^x)&=x\ln3+\ln(1+3^{-x}),\\
\ln(1+2^x)&=x\ln2+\ln(1+2^{-x}).
\end{aligned}Разделив числитель и знаменатель на xx, получаемln⁡3+ln⁡(1+3−x)/xln⁡2+ln⁡(1+2−x)/x.\frac{\ln3+\ln(1+3^{-x})/x}{\ln2+\ln(1+2^{-x})/x}.Добавочные логарифмы стремятся к нулю, поэтому после деления на x→+∞x\to+\infty их вклад также стремится к нулю. Так как ln⁡2>0\ln2>0, получаем ln⁡3/ln⁡2\ln3/\ln2.