Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 561

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти пределы:

\begin{aligned} \text{а) }&\lim_{x\to-\infty} \frac{\ln(1+3^x)}{\ln(1+2^x)}\\ \text{б) }&\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(1+3^x)}{\ln(1+2^x)}\end{aligned}

Ответ:

0

\frac{\ln3}{\ln2}

Решение

1
Пункт а)
При $x\to-\infty$ величины $3^x$ и $2^x$ стремятся к нулю.
Так как $\ln(1+t)\sim t$ при $t\to0$ , имеем $\begin{aligned} \frac{\ln(1+3^x)}{\ln(1+2^x)} &\sim\left(\frac32\right)^x\longrightarrow0\end{aligned}$
2
Пункт б)
Вынесем основные степени из-под логарифмов: $\begin{aligned} \frac{\ln(1+3^x)}{\ln(1+2^x)} &=\frac{x\ln3+\ln(1+3^{-x})} {x\ln2+\ln(1+2^{-x})} \longrightarrow\frac{\ln3}{\ln2}\end{aligned}$