Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 545.2

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 545.2

Вычислить пределlim⁡x→0(1+sin⁡xcos⁡αx1+sin⁡xcos⁡βx)ctg⁡3x\lim_{x\to0}
\left(
\frac{1+\sin x\cos\alpha x}
{1+\sin x\cos\beta x}
\right)^{\operatorname{ctg}^3x}
Ответ:e(β2−α2)/2e^{(\beta^2-\alpha^2)/2}

Решение

Положим A=sin⁡xcos⁡αxA=\sin x\cos\alpha x, B=sin⁡xcos⁡βxB=\sin x\cos\beta x. Обе величины стремятся к нулю, поэтому 1+A1+A и 1+B1+B положительны при малом ∣x∣|x|. Если α2=β2\alpha^2=\beta^2, косинусы совпадают и исходная степень равна 11 во всех точках своей области определения. Далее считаем α2≠β2\alpha^2\ne\beta^2.
Обозначим степень через zz. Логарифмическую разность преобразуем точно:ln⁡(1+A)−ln⁡(1+B)=ln⁡(1+A−B1+B).\ln(1+A)-\ln(1+B)=\ln\left(1+\frac{A-B}{1+B}\right).Положим u=(A−B)/(1+B)u=(A-B)/(1+B). Тогда u→0u\to0, иln⁡z=ln⁡(1+u)u 11+B ctg⁡3x sin⁡x(cos⁡αx−cos⁡βx).\ln z=\frac{\ln(1+u)}u\,\frac1{1+B}\,
\operatorname{ctg}^3x\,\sin x(\cos\alpha x-\cos\beta x).При достаточно малом x≠0x\ne0 деление на uu допустимо: по формуле разности косинусовcos⁡αx−cos⁡βx=−2sin⁡(α+β)x2sin⁡(α−β)x2,\cos\alpha x-\cos\beta x
=-2\sin\frac{(\alpha+\beta)x}{2}\sin\frac{(\alpha-\beta)x}{2},а α+β\alpha+\beta и α−β\alpha-\beta ненулевые. Последнее произведение преобразуем:ctg⁡3x sin⁡x(cos⁡αx−cos⁡βx)=(xctg⁡x)3sin⁡xxcos⁡αx−cos⁡βxx2.\operatorname{ctg}^3x\,\sin x(\cos\alpha x-\cos\beta x)
=(x\operatorname{ctg}x)^3\frac{\sin x}x
\frac{\cos\alpha x-\cos\beta x}{x^2}.Первые два множителя стремятся к 11. Для последней дроби имеемcos⁡αx−cos⁡βxx2=1−cos⁡βxx2−1−cos⁡αxx2⟶β22−α22\frac{\cos\alpha x-\cos\beta x}{x^2}
=\frac{1-\cos\beta x}{x^2}-\frac{1-\cos\alpha x}{x^2}
\longrightarrow\frac{\beta^2}{2}-\frac{\alpha^2}{2}по №474а; если один параметр нулевой, соответствующая дробь сразу равна нулю. Кроме того, ln⁡(1+u)/u→1\ln(1+u)/u\to1 и 1/(1+B)→11/(1+B)\to1. Получаемln⁡z⟶β2−α22,z⟶e(β2−α2)/2.\ln z\longrightarrow\frac{\beta^2-\alpha^2}{2},\qquad
z\longrightarrow e^{(\beta^2-\alpha^2)/2}.Ответ верен и в разобранном вначале случае α2=β2\alpha^2=\beta^2.