Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 575

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 575

Найти пределlim⁡x→π/21−sin⁡α+βx(1−sin⁡αx)(1−sin⁡βx),α>0,β>0\lim_{x\to\pi/2}
\frac{1-\sin^{\alpha+\beta}x}
{\sqrt{(1-\sin^\alpha x)(1-\sin^\beta x)}},
\qquad \alpha>0,\quad\beta>0
Ответ:α+βαβ\frac{\alpha+\beta}{\sqrt{\alpha\beta}}

Решение

Идея

Пусть t=1−sin⁡xt=1-\sin x. Тогда t→0+t\to0+ и для любого γ>0\gamma>0

Проверка

1−sin⁡γx=1−(1−t)γ∼γt\begin{aligned}
1-\sin^\gamma x
&=1-(1-t)^\gamma\\
&\sim\gamma t
\end{aligned}Следовательно,1−sin⁡α+βx(1−sin⁡αx)(1−sin⁡βx)∼(α+β)tαt βt=α+βαβ\begin{aligned}
\frac{1-\sin^{\alpha+\beta}x}
{\sqrt{(1-\sin^\alpha x)(1-\sin^\beta x)}}
&\sim\frac{(\alpha+\beta)t}
{\sqrt{\alpha t\,\beta t}}
=\frac{\alpha+\beta}{\sqrt{\alpha\beta}}
\end{aligned}
Демидович № 575 — решение и ответ