Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 544

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 544

Вычислить пределlim⁡x→0(x+ex)1/x\lim_{x\to0}(x+e^x)^{1/x}
Ответ:e2e^2

Решение

При x→0x\to0 основание степени стремится к единице и остаётся
положительным. Обозначим y(x)=(x+ex)1/xy(x)=(x+e^x)^{1/x}. Тогда
ln⁡y(x)=\displaystyle \ln y(x)\mathrel{=}ln⁡(x+ex)x=\displaystyle \frac{\ln(x+e^x)}{x}\mathrel{=}ln⁡(1+(x+ex−1))x+ex−1⋅x+ex−1x\displaystyle \frac{\ln\bigl(1+(x+e^x-1)\bigr)}{x+e^x-1}
\cdot\frac{x+e^x-1}{x}Первый множитель стремится к 11, а второй — к1+lim⁡x→0ex−1x=21+\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=2Поэтомуlim⁡x→0ln⁡y(x)=2\lim_{x\to0}\ln y(x)=2и, следовательно,lim⁡x→0y(x)=e2\lim_{x\to0}y(x)=e^2