Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 540.2

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 540.2

Вычислить пределlim⁡x→0ln⁡(nx+1−n2x2)ln⁡(x+1−x2)\lim_{x\to0}
\frac{\ln(nx+\sqrt{1-n^2x^2})}
{\ln(x+\sqrt{1-x^2})}
Ответ:nn

Решение

Для фиксированного действительного cc обозначимFc(x)=cx+1−c2x2F_c(x)=cx+\sqrt{1-c^2x^2}Рационализируя разность, получаемFc(x)−1=\displaystyle F_c(x)-1\mathrel{=}cx+1−c2x2−1=\displaystyle cx+\sqrt{1-c^2x^2}-1\mathrel{=}cx−c2x21+1−c2x2\displaystyle cx-\frac{c^2x^2}{1+\sqrt{1-c^2x^2}}Поэтомуlim⁡x→0Fc(x)−1x=c\lim_{x\to0}\frac{F_c(x)-1}{x}=cДля c≠0c\ne0, используя предел ln⁡(1+u)/u→1\ln(1+u)/u\to1 из №529, находимlim⁡x→0ln⁡Fc(x)x=lim⁡x→0ln⁡Fc(x)Fc(x)−1⋅Fc(x)−1x=1⋅c=c\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\frac{\ln F_c(x)}{x}
&=\lim_{x\to0}
\frac{\ln F_c(x)}{F_c(x)-1}
\cdot\frac{F_c(x)-1}{x}=1\cdot c=c
\end{aligned}При c=0c=0 функция F0(x)F_0(x) тождественно равна 11, поэтому
ln⁡F0(x)=0\ln F_0(x)=0, и тот же итог равен нулю. Теперьlim⁡x→0ln⁡Fn(x)ln⁡F1(x)=lim⁡x→0ln⁡Fn(x)xln⁡F1(x)x=n1=n\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\frac{\ln F_n(x)}{\ln F_1(x)}
&=\lim_{x\to0}
\frac{\dfrac{\ln F_n(x)}{x}}
{\dfrac{\ln F_1(x)}{x}}=\frac n1=n
\end{aligned}Так как ln⁡F1(x)/x→1\ln F_1(x)/x\to1, знаменатель исходной дроби отличен
от нуля при всех достаточно малых x≠0x\ne0.