Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 556

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 556

Найти пределlim⁡x→0(ax+bx+cx3)1/x,a>0,b>0,c>0\lim_{x\to0}
\left(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{1/x},
\qquad a>0,\quad b>0,\quad c>0
Ответ:abc3\sqrt[3]{abc}

Решение

Основание положительно при всех xx. Обозначим исходную степень через yy и запишем основание как 1+u1+u:
u=(ax−1)+(bx−1)+(cx−1)3⟶0.u=\frac{(a^x-1)+(b^x-1)+(c^x-1)}3\longrightarrow0.Делим на xx и применяем №541 к каждому слагаемому:ux=13(ax−1x+bx−1x+cx−1x)⟶ln⁡a+ln⁡b+ln⁡c3.\frac ux=\frac13\left(\frac{a^x-1}x+\frac{b^x-1}x+\frac{c^x-1}x\right)
\longrightarrow\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{3}.С обозначением LL из №554 логарифм степени равенln⁡y=ln⁡(1+u)x=L(u)ux.\ln y=\frac{\ln(1+u)}x=L(u)\frac ux.Так как L(u)→1L(u)\to1, получаем ln⁡y→ln⁡(abc)/3\ln y\to\ln(abc)/3. Следовательно,y⟶eln⁡(abc)/3=abc3.y\longrightarrow e^{\ln(abc)/3}=\sqrt[3]{abc}.