Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 556

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 556

Найти пределlim⁡x→0(ax+bx+cx3)1/x,a>0,b>0,c>0\lim_{x\to0}
\left(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{1/x},
\qquad a>0,\quad b>0,\quad c>0
Ответ:abc3\sqrt[3]{abc}

Решение

Идея

Обозначим исходное выражение через y(x)y(x) и прологарифмируем его.
Разложения ax=1+xln⁡a+o(x)a^x=1+x\ln a+o(x) и аналогичные им дают
ln⁡y(x)=1xln⁡(ax+bx+cx3)==1xln⁡(1+xln⁡a+ln⁡b+ln⁡c3+o(x))⟶⟶ln⁡a+ln⁡b+ln⁡c3\begin{aligned}
\ln y(x)
&=\frac1x\ln\left(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)=\\
&=\frac1x\ln\left(
1+x\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{3}+o(x)\right)
\longrightarrow\\
&\longrightarrow\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{3}
\end{aligned}После потенцирования находим предел исходного выражения.
Демидович № 556 — решение и ответ