Раздел I. Введение в анализ — § 7

Демидович § 7. Непрерывность функции

Условия, ответы и подробные решения задач 662–758

Задачи 662–758

94 из 94 с разбором

Выбор δ по заданному ε

662–667

Задача 662

Дан график непрерывной функции y=f(x)y=f(x). Для данной точки aa и числа
ε>0\varepsilon>0 указать геометрически число δ>0\delta>0 такое, что∣f(x)−f(a)∣<ε|f(x)-f(a)|<\varepsilonпри ∣x−a∣<δ|x-a|<\delta.

Задача 663

Требуется изготовить металлическую квадратную пластинку, сторона которой x0=10x_0=10 см. В каких пределах допустимо изменять сторону xx этой пластинки, если площадь ее y=x2y=x^2 может отличаться от проектной y0=100y_0=100 см2^2 не больше чем:

а) на ±1\pm1 см2^2; б) на ±0,1\pm0{,}1 см2^2; в) на ±0,01\pm0{,}01 см2^2; г) на ±ε\pm\varepsilon (см2^2)?

Задача 664

Ребро куба заключается между 2 м и 3 м. С какой абсолютной погрешностью Δ\Delta допустимо измерить ребро xx этого куба, чтобы объем его yy можно было вычислить с абсолютной погрешностью, не превышающей ε\varepsilon м3^3, если:а) ε=0,1 м3;б) ε=0,01 м3;в) ε=0,001 м3\text{а) }\varepsilon=0{,}1\ \text{м}^3;
\qquad
\text{б) }\varepsilon=0{,}01\ \text{м}^3;
\qquad
\text{в) }\varepsilon=0{,}001\ \text{м}^3

Задача 665

В какой максимальной окрестности точки x0=100x_0=100 ордината графика функции y=xy=\sqrt{x} отличается от ординаты y0=10y_0=10 меньше чем на ε=10−n\varepsilon=10^{-n} (n⩾0)(n\geqslant0)? Определить размеры этой окрестности при n=0,1,2,3n=0,1,2,3.

Задача 666

С помощью «ε−δ\varepsilon-\delta»-рассуждений доказать, что функцияf(x)=x2f(x)=x^2непрерывна при x=5x=5.

Заполнить следующую таблицу:ε10,10,010,001…δ\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\boldsymbol{\varepsilon}&1&0{,}1&0{,}01&0{,}001&\ldots\\ \hline
\boldsymbol{\delta}&&&&&
\end{array}

Задача 667

Пусть f(x)=1xf(x)=\frac1x и ε=0,001\varepsilon=0{,}001. Для значений x0=0,1; 0,01; 0,001;…x_0=0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001;\ldots найти максимально большие положительные числа δ=δ(ε,x0)\delta=\delta(\varepsilon,x_0) такие, чтобы из неравенства ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta вытекало бы неравенство∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilonМожно ли для данного ε=0,001\varepsilon=0{,}001 выбрать такое δ>0\delta>0, которое годилось бы для всех значений x0x_0 из интервала (0,1)(0,1), то есть такое, что если ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta, то ∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon, каково бы ни было значение x0∈(0,1)x_0\in(0,1)?

Определение непрерывности через ε и δ

668–674

Задача 668

Сформулировать на языке «ε−δ\varepsilon-\delta» в положительном смысле следующее утверждение: функция f(x)f(x), определенная в точке x0x_0, не является непрерывной в этой точке.

Задача 669

Пусть для некоторых чисел ε>0\varepsilon>0 можно найти соответствующие
числа δ=δ(ε,x0)>0\delta=\delta(\varepsilon,x_0)>0 такие, что∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilonесли только ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta.

Можно ли утверждать, что функция f(x)f(x) непрерывна в точке x0x_0, если:

а) числа ε\varepsilon образуют конечное множество;

б) числа ε\varepsilon образуют бесконечное множество двоичных дробейε=12n,n=1,2,…\varepsilon=\frac1{2^n},
\qquad n=1,2,\ldots

Задача 670

Пусть дана функцияf(x)=x+0,001[x]f(x)=x+0{,}001[x]Показать, что для каждого ε>0,001\varepsilon>0{,}001 можно подобрать
δ=δ(ε,x)>0\delta=\delta(\varepsilon,x)>0 такое, что
∣f(x′)−f(x)∣<ε|f(x')-f(x)|<\varepsilon, если только ∣x′−x∣<δ|x'-x|<\delta, а при
0<ε⩽0,0010<\varepsilon\leqslant0{,}001 для всех значений xx этого сделать
нельзя.

В каких точках нарушается непрерывность этой функции?

Задача 671

Пусть для каждого достаточно малого числа δ>0\delta>0 существует
ε=ε(δ,x0)>0\varepsilon=\varepsilon(\delta,x_0)>0 такое, что если
∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta, то выполнено неравенство∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilonСледует ли отсюда, что функция f(x)f(x) непрерывна при x=x0x=x_0? Какое
свойство функции f(x)f(x) описывается данными неравенствами?

Задача 672

Пусть для каждого числа ε>0\varepsilon>0 существует число
δ=δ(ε,x0)>0\delta=\delta(\varepsilon,x_0)>0 такое, что если∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilonто ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta. Следует ли отсюда, что функция f(x)f(x) непрерывна
при значении x=x0x=x_0? Какое свойство функции описывается этими
неравенствами?

Задача 673

Пусть для каждого числа δ>0\delta>0 существует число
ε=ε(δ,x0)>0\varepsilon=\varepsilon(\delta,x_0)>0 такое, что если∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilonто ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta. Следует ли отсюда, что функция f(x)f(x) непрерывна
при x=x0x=x_0? Какое свойство функции f(x)f(x) описывается данными
неравенствами?

Рассмотреть пример:f(x)={arctg⁡x,если x рационально,π−arctg⁡x,если x иррациональноf(x)=\begin{cases}
\operatorname{arctg} x, & \text{если }x\text{ рационально},\\
\pi-\operatorname{arctg} x, & \text{если }x\text{ иррационально}
\end{cases}

Задача 674

С помощью «ε−δ\varepsilon-\delta»-рассуждений доказать непрерывность
следующих функций:а) ax+b;б) x2;в) x3\text{а) }ax+b;
\qquad
\text{б) }x^2;
\qquad
\text{в) }x^3г) x;д) x3;е) sin⁡x\text{г) }\sqrt{x};
\qquad
\text{д) }\sqrt[3]{x};
\qquad
\text{е) }\sin xж) cos⁡x;з) arctg⁡x\text{ж) }\cos x;
\qquad
\text{з) }\operatorname{arctg} x

Непрерывность и графики функций

675–686
Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Задача 675

f(x)=∣x∣f(x)=|x|

Задача 676

f(x)={x2−4x−2,x≠2A,x=2f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^2-4}{x-2}, & x\ne2\\
A, & x=2
\end{cases}

Задача 677

f(x)=1(1+x)2,x≠−1f(x)=\frac1{(1+x)^2},\quad x\ne-1Значение f(−1)f(-1) задано произвольно.

Задача 678

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функции:а) f1(x)=∣sin⁡xx∣,x≠0;f1(0)=1\text{а) }f_1(x)=\left|\frac{\sin x}{x}\right|,
\quad x\ne0;\qquad f_1(0)=1б) f2(x)=sin⁡x∣x∣,x≠0;f2(0)=1\text{б) }f_2(x)=\frac{\sin x}{|x|},
\quad x\ne0;\qquad f_2(0)=1
Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Задача 679

f(x)=sin⁡1x,x≠0f(x)=\sin\frac1x,
\qquad x\neq0причём f(0)f(0) — произвольно.

Задача 680

f(x)=xsin⁡1x,x≠0,f(0)=0f(x)=x\sin\frac1x,
\qquad x\neq0,
\qquad f(0)=0

Задача 681

f(x)=e−1x2,x≠0,f(0)=0f(x)=e^{-\frac1{x^2}},
\qquad x\neq0,
\qquad f(0)=0

Задача 682

f(x)=11+e1x−1,x≠1f(x)=\frac1{1+e^{\frac1{x-1}}},
\qquad x\neq1причём f(1)f(1) — произвольно.

Задача 683

f(x)=xln⁡x2,x≠0,f(0)=af(x)=x\ln x^2,
\qquad x\neq0,
\qquad f(0)=a

Задача 684

f(x)=sgn⁡xf(x)=\operatorname{sgn}x

Задача 685

f(x)=[x]f(x)=[x]

Задача 686

f(x)=x−[x]f(x)=\sqrt{x}-[\sqrt{x}]

Точки и виды разрывов

687–700
Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

Задача 687

y=x(1+x)2y=\frac{x}{(1+x)^2}

Задача 688

y=1+x1+x3y=\frac{1+x}{1+x^3}

Задача 689

y=x2−1x3−3x+2y=\frac{x^2-1}{x^3-3x+2}

Задача 690

y=1x−1x+11x−1−1xy=\frac{\dfrac1x-\dfrac1{x+1}}
{\dfrac1{x-1}-\dfrac1x}

Задача 691

y=xsin⁡xy=\frac{x}{\sin x}

Задача 692

y=1−cos⁡πx4−x2y=\sqrt{\frac{1-\cos\pi x}{4-x^2}}

Задача 693

y=cos⁡21xy=\cos^2\frac1x

Задача 694

y=sgn⁡(sin⁡πx)y=\operatorname{sgn}\left(\sin\frac\pi x\right)

Задача 695

y=cos⁡πxcos⁡πxy=\frac{\cos\dfrac\pi x}{\cos\dfrac\pi x}

Задача 696

y=arctg⁡1xy=\operatorname{arctg}\frac1x

Задача 697

y=x arctg⁡1xy=\sqrt{x}\,\operatorname{arctg}\frac1x

Задача 698

y=ex+1xy=e^{x+\frac1x}

Задача 699

y=1ln⁡xy=\frac1{\ln x}

Задача 700

y=11−ex1−xy=\frac1{1-e^{\frac{x}{1-x}}}

Функции с бесконечным множеством разрывов

701–712
Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 701

y=sgn⁡(sin⁡x)y=\operatorname{sgn}(\sin x)

Задача 702

y=x−[x]y=x-[x]

Задача 703

y=x[x]y=x[x]

Задача 704

y=[x]sin⁡πxy=[x]\sin\pi x

Задача 705

y=x2−[x2]y=x^2-[x^2]

Задача 706

y=[1x]y=\left[\frac1x\right]

Задача 707

y=x[1x]y=x\left[\frac1x\right]

Задача 708

y=sgn⁡(cos⁡1x)y=\operatorname{sgn}\left(\cos\frac1x\right)

Задача 709

y=[1x2]sgn⁡(sin⁡πx)y=\left[\frac1{x^2}\right]
\operatorname{sgn}\left(\sin\frac\pi x\right)

Задача 710

y=ctg⁡πxy=\operatorname{ctg}\frac\pi x

Задача 711

y=sec⁡21xy=\sec^2\frac1x

Задачи 1–50 из 94