Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 545.1

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 545.1

Вычислить пределlim⁡x→0(1+x 2x1+x 3x)1/x2\lim_{x\to0}
\left(\frac{1+x\,2^x}{1+x\,3^x}\right)^{1/x^2}
Ответ:23\dfrac23

Решение

В достаточно малой окрестности нуля числитель и знаменатель основания положительны. Обозначим исходную степень через yy и положим
u=x(2x−3x)1+x3x.u=\frac{x(2^x-3^x)}{1+x3^x}.Тогда основание равно 1+u1+u, а u→0u\to0. При малом x≠0x\ne0 имеем 2x≠3x2^x\ne3^x, значит, u≠0u\ne0. Логарифмируем:ln⁡y=ln⁡(1+u)x2=ln⁡(1+u)u 2x−3xx(1+x3x).\ln y=\frac{\ln(1+u)}{x^2}
=\frac{\ln(1+u)}u\,
\frac{2^x-3^x}{x(1+x3^x)}.Первая дробь стремится к 11 по №529. Во второй явно выделим разности с единицей:2x−3xx=2x−1x−3x−1x⟶ln⁡2−ln⁡3=ln⁡(2/3)\frac{2^x-3^x}x=\frac{2^x-1}x-\frac{3^x-1}x
\longrightarrow\ln2-\ln3=\ln(2/3)по №541. При этом 1+x3x→11+x3^x\to1. Поэтому ln⁡y→ln⁡(2/3)\ln y\to\ln(2/3), а по правилу перехода от логарифма к положительному числуy⟶2/3.y\longrightarrow2/3.