Раздел I. Введение в анализ — § 9

Демидович § 9. Равномерная непрерывность функции

Условия, ответы и подробные решения задач 785–808

Задачи 785–808

24 из 24 с разбором

Определение и исследование равномерной непрерывности

785–801

Задача 785

Цех завода вырабатывает квадратные пластинки, стороны которых xx могут принимать значения в пределах от 1 до 10 см. С каким допуском δ\delta можно обрабатывать стороны этих пластинок, чтобы независимо от их длины (в указанных границах) площадь их yy отличалась от проектной меньше, чем на ε\varepsilon? Выполнить численный расчет, если:а) ε=1 см2;б) ε=0,01 см2;в) ε=0,0001 см2.\text{а) }\varepsilon=1\ \text{см}^2;
\quad
\text{б) }\varepsilon=0{,}01\ \text{см}^2;
\quad
\text{в) }\varepsilon=0{,}0001\ \text{см}^2.

Задача 786

Цилиндрическая муфта, ширина которой ε\varepsilon и длина δ\delta, надета на кривую y=x3y=\sqrt[3]{x} и скользит по ней так, что ось муфты остается параллельной оси OxOx. Чему должна быть равна длина δ\delta, чтобы эта муфта свободно прошла участок кривой, определяемый неравенством −10≤x≤10-10\le x\le10, если:

а) ε=1\varepsilon=1; б) ε=0,1\varepsilon=0{,}1; в) ε=0,001\varepsilon=0{,}001; г) ε\varepsilon произвольно мало?

Задача 787

В положительном смысле сформулировать на языке «ε−δ\varepsilon-\delta» утверждение: функция f(x)f(x) непрерывна на некотором множестве (интервале, сегменте и т. п.), но не является равномерно непрерывной на этом множестве.

Задача 788

Показать, что функцияf(x)=1xf(x)=\frac1xнепрерывна в интервале (0,1)(0,1), но не является равномерно непрерывной в этом интервале.

Задача 789

Показать, что функцияf(x)=sin⁡πxf(x)=\sin\frac\pi xнепрерывна и ограничена в интервале (0,1)(0,1), но не является равномерно непрерывной в этом интервале.

Задача 790

Показать, что функцияf(x)=sin⁡x2f(x)=\sin x^2непрерывна и ограничена в бесконечном интервале −∞<x<+∞-\infty<x<+\infty, но не является равномерно непрерывной в этом интервале.

Задача 791

Доказать, что если функция f(x)f(x) определена и непрерывна в области a≤x<+∞a\le x<+\infty и существует конечныйlim⁡x→+∞f(x),\lim_{x\to+\infty}f(x),то f(x)f(x) равномерно непрерывна в этой области.

Задача 792

Показать, что неограниченная функцияf(x)=x+sin⁡xf(x)=x+\sin xравномерно непрерывна на всей оси −∞<x<+∞-\infty<x<+\infty.

Задача 793

Является ли равномерно непрерывной функция f(x)=x2f(x)=x^2 на интервале:

а) (−l,l)(-l,l), где ll - любое, сколько угодно большое положительное число;

б) на интервале (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)?
Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию

Задача 794

f(x)=x4−x2(−1≤x≤1).f(x)=\frac{x}{4-x^2}\qquad(-1\le x\le1).

Задача 795

f(x)=ln⁡x(0<x<1).f(x)=\ln x\qquad(0<x<1).

Задача 796

f(x)=sin⁡xx(0<x<π).f(x)=\frac{\sin x}{x}\qquad(0<x<\pi).

Задача 797

f(x)=excos⁡1x(0<x<1).f(x)=e^x\cos\frac1x\qquad(0<x<1).

Задача 798

f(x)=arctg⁡x(−∞<x<+∞).f(x)=\operatorname{arctg} x\qquad(-\infty<x<+\infty).

Опирается на задачу 791

Задача 799

f(x)=x(1≤x<+∞).f(x)=\sqrt{x}\qquad(1\le x<+\infty).

Задача 800

f(x)=xsin⁡x(0≤x<+∞).f(x)=x\sin x\qquad(0\le x<+\infty).

Задача 801

1. Показать, что функцияf(x)=∣sin⁡x∣xf(x)=\frac{|\sin x|}{x}равномерно непрерывна на каждом интервалеJ1=(−1<x<0)иJ2=(0<x<1)J_1=(-1<x<0)\qquad\text{и}\qquad J_2=(0<x<1)по отдельности, но не является равномерно непрерывной на их суммеJ1+J2={0<∣x∣<1}.J_1+J_2=\{0<|x|<1\}.2. Доказать, что если функция f(x)f(x) равномерно непрерывна на каждом из сегментов [a,c][a,c] и [c,b][c,b], то эта функция является равномерно непрерывной и на суммарном сегменте [a,b][a,b].

Оценки, теоремы и модуль непрерывности

802–808

Задача 802

Для ε>0\varepsilon>0 найти δ=δ(ε)\delta=\delta(\varepsilon) (какое-нибудь!), удовлетворяющее условиям равномерной непрерывности для функции f(x)f(x) на данном промежутке, если:а) f(x)=5x−3(−∞<x<+∞);\text{а) }f(x)=5x-3\qquad(-\infty<x<+\infty);б) f(x)=x2−2x−1(−2≤x≤5);\text{б) }f(x)=x^2-2x-1\qquad(-2\le x\le5);в) f(x)=1x(0,1≤x≤1);\text{в) }f(x)=\frac1x\qquad(0{,}1\le x\le1);г) f(x)=x(0≤x<+∞);\text{г) }f(x)=\sqrt{x}\qquad(0\le x<+\infty);д) f(x)=2sin⁡x−cos⁡x(−∞<x<+∞);\text{д) }f(x)=2\sin x-\cos x\qquad(-\infty<x<+\infty);е) f(x)=xsin⁡1x(x≠0),f(0)=0(0≤x≤π).\text{е) }f(x)=x\sin\frac1x\quad(x\ne0),\qquad f(0)=0\qquad(0\le x\le\pi).

Задача 803

На сколько равных между собой отрезков достаточно разбить сегмент [1,10][1,10], чтобы колебание функции f(x)=x2f(x)=x^2 на каждом из этих отрезков было меньше 0,00010{,}0001?

Задача 804

Доказать, что сумма и произведение ограниченного числа равномерно непрерывных на интервале (a,b)(a,b) функций равномерно непрерывны на этом интервале.

Задача 805

Доказать, что если ограниченная монотонная функция f(x)f(x) непрерывна на конечном или бесконечном интервале (a,b)(a,b), то эта функция равномерно непрерывна на интервале (a,b)(a,b).

Опирается на задачу 791

Задача 806

1. Доказать, что если функция f(x)f(x) равномерно непрерывна на конечном интервале (a,b)(a,b), то существуют пределыA=lim⁡x→a+0f(x)иB=lim⁡x→b−0f(x).A=\lim_{x\to a+0}f(x)
\quad\text{и}\quad
B=\lim_{x\to b-0}f(x).Верна ли эта теорема для бесконечного интервала (a,b)(a,b)?

2. Доказать, что для того, чтобы функцию f(x)f(x), определенную и непрерывную на конечном интервале (a,b)(a,b), можно было продолжить непрерывным образом на сегмент [a,b][a,b], необходимо и достаточно, чтобы функция f(x)f(x) была равномерно непрерывна на интервале (a,b)(a,b).

Задача 807

Модулем непрерывности функции f(x)f(x) на промежутке (a,b)(a,b) называется функцияωf(δ)=sup⁡∣f(x1)−f(x2)∣,\omega_f(\delta)=\sup|f(x_1)-f(x_2)|,где x1x_1 и x2x_2 - любые точки из (a,b)(a,b), связанные условием ∣x1−x2∣≤δ|x_1-x_2|\le\delta.

Доказать, что для равномерной непрерывности функции f(x)f(x) на промежутке (a,b)(a,b) необходимо и достаточно, чтобыlim⁡δ→0ωf(δ)=0.\lim_{\delta\to0}\omega_f(\delta)=0.

Задача 808

Получить оценку модуля непрерывности ωf(δ)\omega_f(\delta) (см. предыдущую задачу) видаωf(δ)≤Cδα,\omega_f(\delta)\le C\delta^\alpha,где CC и α\alpha - константы, если:а) f(x)=x3(0≤x≤1);\text{а) }f(x)=x^3\qquad(0\le x\le1);б) f(x)=x(0≤x≤a) и (a<x<+∞);\text{б) }f(x)=\sqrt{x}\qquad(0\le x\le a)\ \text{и }(a<x<+\infty);в) f(x)=sin⁡x+cos⁡x(0≤x≤2π).\text{в) }f(x)=\sin x+\cos x\qquad(0\le x\le2\pi).