Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 546

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 546

Вычислить пределlim⁡n→∞tg⁡n(π4+1n)\lim_{n\to\infty}
\operatorname{tg}^n\left(\frac{\pi}{4}+\frac1n\right)
Ответ:e2e^2

Решение

Для больших nn основание положительно. Обозначим
yn=tg⁡n(π4+1n)y_n=\operatorname{tg}^n\left(\frac{\pi}{4}+\frac1n\right). По результату
задачи №~538
ln⁡yn=\displaystyle \ln y_n\mathrel{=}nln⁡tg⁡(π4+1n)=\displaystyle n\ln\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac1n\right)\mathrel{=}ln⁡tg⁡(π4+t)t⟶2,t=\displaystyle \frac{\ln\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+t\right)}{t}
\longrightarrow2,
\qquad t\mathrel{=}1n→0\displaystyle \frac1n\to0Отсюдаlim⁡n→∞yn=e2\lim_{n\to\infty}y_n=e^2