Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 565

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 565

Доказать, что при a>1a>1 и ε>0\varepsilon>0lim⁡x→+∞log⁡axxε=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\log_a x}{x^\varepsilon}=0
Доказано:00

Доказательство

Используем уже доказанный в №564 предел. Положим t=ln⁡xt=\ln x. При x→+∞x\to+\infty имеем t→+∞t\to+\infty, x=etx=e^t, поэтому
log⁡axxε=1ln⁡aln⁡xeεln⁡x=1ln⁡at(eε)t.\frac{\log_a x}{x^\varepsilon}
=\frac1{\ln a}\frac{\ln x}{e^{\varepsilon\ln x}}
=\frac1{\ln a}\frac{t}{(e^\varepsilon)^t}.Число eε>1e^\varepsilon>1, так как ε>0\varepsilon>0. По №564 с показателем числителя 11 и основанием экспоненты eεe^\varepsilon последняя дробь стремится к нулю. Множитель 1/ln⁡a1/\ln a постоянен и конечен, поскольку a>1a>1. Получаемlim⁡x→+∞log⁡axxε=0.\lim_{x\to+\infty}\frac{\log_a x}{x^\varepsilon}=0.

Что и требовалось доказать