Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 565

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 565

Доказать, что при a>1a>1 и ε>0\varepsilon>0lim⁡x→+∞log⁡axxε=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\log_a x}{x^\varepsilon}=0
Доказано:00

Доказательство

Пусть t=ln⁡xt=\ln x. Тогда t→+∞t\to+\infty иlog⁡axxε=tln⁡a e−εt\begin{aligned}
\frac{\log_a x}{x^\varepsilon}
&=\frac{t}{\ln a}\,e^{-\varepsilon t}
\end{aligned}Для t>0t>0 из неравенства
eεt⩾(εt)22e^{\varepsilon t}\geqslant\dfrac{(\varepsilon t)^2}{2} следует0⩽te−εt⩽2ε2t⟶00\leqslant te^{-\varepsilon t}
\leqslant\frac{2}{\varepsilon^2t}
\longrightarrow0Поскольку ln⁡a>0\ln a>0, исходное отношение также стремится к нулю.

Что и требовалось доказать

Демидович № 565 — решение и ответ