Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 557

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 557

Найти пределlim⁡x→0(ax+1+bx+1+cx+1a+b+c)1/x,a>0,b>0,c>0\lim_{x\to0}
\left(
\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}
\right)^{1/x},
\qquad a>0,\quad b>0,\quad c>0
Ответ:exp⁡(aln⁡a+bln⁡b+cln⁡ca+b+c)\exp\left(
\frac{a\ln a+b\ln b+c\ln c}{a+b+c}
\right)

Решение

Положим S=a+b+c>0S=a+b+c>0. В основании вычтем единицу:ax+1+bx+1+cx+1S=1+u,u=a(ax−1)+b(bx−1)+c(cx−1)S.\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}S=1+u,
\quad
u=\frac{a(a^x-1)+b(b^x-1)+c(c^x-1)}S.Имеем u→0u\to0, причёмux=1S(aax−1x+bbx−1x+ccx−1x)⟶aln⁡a+bln⁡b+cln⁡cS\frac ux=\frac1S\left(a\frac{a^x-1}x+b\frac{b^x-1}x+c\frac{c^x-1}x\right)
\longrightarrow\frac{a\ln a+b\ln b+c\ln c}{S}по №541. Для исходной степени yy и функции LL из №554ln⁡y=ln⁡(1+u)x=L(u)ux,L(u)→1.\ln y=\frac{\ln(1+u)}x=L(u)\frac ux,
\qquad L(u)\to1.Поэтомуy⟶exp⁡(aln⁡a+bln⁡b+cln⁡ca+b+c).y\longrightarrow
\exp\left(\frac{a\ln a+b\ln b+c\ln c}{a+b+c}\right).Все веса появились из равенств ax+1=a axa^{x+1}=a\,a^x, bx+1=b bxb^{x+1}=b\,b^x, cx+1=c cxc^{x+1}=c\,c^x.