Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 557

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 557

Найти пределlim⁡x→0(ax+1+bx+1+cx+1a+b+c)1/x,a>0,b>0,c>0\lim_{x\to0}
\left(
\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}
\right)^{1/x},
\qquad a>0,\quad b>0,\quad c>0
Ответ:exp⁡(aln⁡a+bln⁡b+cln⁡ca+b+c)\exp\left(
\frac{a\ln a+b\ln b+c\ln c}{a+b+c}
\right)

Решение

Идея

Положим S=a+b+cS=a+b+c и обозначим исходное выражение через y(x)y(x).
Так как

Проверка

ax+1+bx+1+cx+1=S+x(aln⁡a+bln⁡b+cln⁡c)+o(x)\begin{aligned}
a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}
&=S+x(a\ln a+b\ln b+c\ln c)+o(x)
\end{aligned}тоln⁡y(x)=1xln⁡(1+xaln⁡a+bln⁡b+cln⁡cS+o(x))⟶⟶aln⁡a+bln⁡b+cln⁡ca+b+c\begin{aligned}
\ln y(x)
&=\frac1x\ln\left(
1+x\frac{a\ln a+b\ln b+c\ln c}{S}+o(x)\right)
\longrightarrow\\
&\longrightarrow
\frac{a\ln a+b\ln b+c\ln c}{a+b+c}
\end{aligned}Следовательно, после потенцирования получаем искомый предел.