Раздел I. Введение в анализ — § 1

Демидович § 1. Вещественные числа

Условия, ответы и подробные решения задач 1–40

Задачи 1–40

40 из 40 с разбором

Метод математической индукции

1–10
Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа nn справедливо равенство

Задача 1

1+2+⋯+n=n(n+1)2.1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.

Задача 2

12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.

Опирается на задачу 1

Задача 3

13+23+⋯+n3=(1+2+⋯+n)2.1^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2.

Опирается на задачу 1

Задача 4

1+2+22+⋯+2n−1=2n−1.1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}=2^n-1.

Задача 5

Пустьa[n]=a(a−h)⋯[a−(n−1)h]иa[0]=1.a^{[n]}=a(a-h)\cdots[a-(n-1)h]\quad\text{и}\quad a^{[0]}=1.Доказать, что(a+b)[n]=∑m=0nCnma[n−m]b[m],(a+b)^{[n]}=\sum_{m=0}^{n}C_n^m a^{[n-m]}b^{[m]},где CnmC_n^m — число сочетаний из nn элементов по mm. Вывести отсюда формулу бинома Ньютона.

Задача 6

Доказать неравенство Бернулли:(1+x1)(1+x2)⋯(1+xn)≥1+x1+x2+⋯+xn,(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\ge 1+x_1+x_2+\cdots+x_n,где x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n — числа одного и того же знака, большие −1-1.

Задача 7

Доказать, что если x>−1x>-1, то справедливо неравенство(1+x)n≥1+nx(n>1),(1+x)^n\ge 1+nx\qquad(n>1),причем знак равенства имеет место лишь при x=0x=0.

Задача 8

Доказать неравенствоn!<(n+12)nпри n>1.n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\qquad\text{при }n>1.Указание. Использовать неравенство(n+2n+1)n+1=(1+1n+1)n+1>2(n=1,2,…).\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}
=\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}>2
\qquad(n=1,2,\ldots).

Задача 9

Доказать неравенство:а) 2! 4!⋯(2n)!>[(n+1)!]n(n>1);\text{а) }2!\,4!\cdots(2n)!>[(n+1)!]^n\quad(n>1);б) 12⋅34⋯2n−12n<12n+1.\text{б) }\frac12\cdot\frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}<\frac1{\sqrt{2n+1}}.

Задача 10

Доказать неравенства:а) 1+12+13+⋯+1n>n(n≥2);\text{а) }1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt n}>\sqrt n\quad(n\ge2);б) nn+1>(n+1)n(n≥3);\text{б) }n^{n+1}>(n+1)^n\quad(n\ge3);в) ∣sin⁡(∑k=1nxk)∣≤∑k=1nsin⁡xk(0≤xk≤π; k=1,2,…,n);\text{в) }\left|\sin\left(\sum_{k=1}^{n}x_k\right)\right|
\le\sum_{k=1}^{n}\sin x_k
\quad(0\le x_k\le\pi;\ k=1,2,\ldots,n);г) (2n)!<22n(n!)2.\text{г) }(2n)!<2^{2n}(n!)^2.

Опирается на задачу 5

Сечение Дедекинда

11–14

Задача 11

Пусть cc — положительное число, не являющееся точным квадратом целого числа, и A/BA/B — сечение, определяющее вещественное число c\sqrt c, где в класс BB входят все положительные рациональные числа bb такие, что b2>cb^2>c, а в класс AA — все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе AA нет наибольшего числа, а в классе BB нет наименьшего числа.

Методическое уточнение. В буквальной формулировке утверждение верно не для всякого положительного cc, не являющегося квадратом целого числа. Например, при c=14c=\frac14 рациональное число 12\frac12 принадлежит классу AA и является его наибольшим элементом. Для доказательства необходимо дополнительно считать, что уравнение r2=cr^2=c не имеет решений в положительных рациональных числах. В частности, если c∈Nc\in\mathbb N и cc не является квадратом целого числа, это условие выполняется. Ниже рассматривается именно этот случай.

Задача 12

Сечение A/BA/B, определяющее число 23\sqrt[3]{2}, строится следующим образом: класс AA содержит все рациональные числа aa такие, что a3<2a^3<2; класс BB содержит все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе AA нет наибольшего числа, а в классе BB — наименьшего.

Сначала покажем, что равенство r3=2r^3=2 невозможно для рационального rr. После этого для любого a∈Aa\in A построим большее рациональное число a+εa+\varepsilon, которое всё ещё принадлежит AA, а для любого b∈Bb\in B — меньшее рациональное число b−εb-\varepsilon, остающееся в BB. В обоих случаях достаточно подобрать малый рациональный шаг ε>0\varepsilon>0 и непосредственно проверить соответствующее неравенство для кубов.

Опирается на задачу 11

Задача 13

Построив соответствующие сечения, доказать равенства:а) 2+8=18;б) 2 3=6.\text{а) }\sqrt2+\sqrt8=\sqrt{18};
\qquad
\text{б) }\sqrt2\,\sqrt3=\sqrt6.

Задача 14

Построить сечение, определяющее число22.2^{\sqrt2}.

Верхние и нижние грани

15–20

Задача 15

Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.

Задача 16

Доказать, что множество всех правильных рациональных дробей mn\frac mn, где mm и nn — натуральные числа и 0<m<n0<m<n, не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти нижнюю и верхнюю грани этого множества.

Задача 17

Определить нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел rr, удовлетворяющих неравенствуr2<2.r^2<2.

Задача 18

Пусть {−x}\{-x\} — множество чисел, противоположных числам x∈{x}x\in\{x\}. Доказать, что:а) inf⁡{−x}=−sup⁡{x};б) sup⁡{−x}=−inf⁡{x}.\text{а) }\inf\{-x\}=-\sup\{x\};
\qquad
\text{б) }\sup\{-x\}=-\inf\{x\}.

Задача 19

Пусть {x+y}\{x+y\} есть множество всех сумм x+yx+y, где x∈{x}x\in\{x\} и y∈{y}y\in\{y\}. Доказать равенства:а) inf⁡{x+y}=inf⁡{x}+inf⁡{y};\text{а) }\inf\{x+y\}=\inf\{x\}+\inf\{y\};б) sup⁡{x+y}=sup⁡{x}+sup⁡{y}.\text{б) }\sup\{x+y\}=\sup\{x\}+\sup\{y\}.

Задача 20

Пусть {xy}\{xy\} есть множество всех произведений xyxy, где x∈{x}x\in\{x\} и y∈{y}y\in\{y\}, причем x≥0x\ge0 и y≥0y\ge0. Доказать равенства:а) inf⁡{xy}=inf⁡{x}inf⁡{y};\text{а) }\inf\{xy\}=\inf\{x\}\inf\{y\};б) sup⁡{xy}=sup⁡{x}sup⁡{y}.\text{б) }\sup\{xy\}=\sup\{x\}\sup\{y\}.Методическое уточнение. В пункте б) при использовании расширенных граней возможна формальная комбинация 0⋅(+∞)0\cdot(+\infty), которая в стандартной арифметике расширенной числовой прямой не определена. Поэтому сначала докажем формулу при конечных верхних гранях, а затем точно опишем неограниченные случаи. Если одно множество равно {0}\{0\}, а другое не ограничено, супремум множества произведений равен 00, но запись 0⋅(+∞)0\cdot(+\infty) без специального соглашения писать нельзя.

Модуль

21–30

Задача 21

Доказать неравенства:а) ∣x−y∣≥∣∣x∣−∣y∣∣;\text{а) }|x-y|\ge \bigl||x|-|y|\bigr|;б) ∣x+x1+⋯+xn∣≥∣x∣−(∣x1∣+⋯+∣xn∣).\text{б) }|x+x_1+\cdots+x_n|\ge |x|-\bigl(|x_1|+\cdots+|x_n|\bigr).

Задача 22

Решить неравенство∣x+1∣<0,01.|x+1|<0{,}01.

Задача 23

Решить неравенство∣x−2∣≥10.|x-2|\ge10.

Задача 24

Решить неравенство∣x∣>∣x+1∣.|x|>|x+1|.

Задача 25

Решить неравенство∣2x−1∣<∣x−1∣.|2x-1|<|x-1|.

Задача 26

Решить неравенство∣x+2∣+∣x−2∣≤12.|x+2|+|x-2|\le12.

Задача 27

Решить неравенство∣x+2∣−∣x∣>1.|x+2|-|x|>1.

Задача 28

Решить неравенство∣∣x+1∣−∣x−1∣∣<1.\bigl||x+1|-|x-1|\bigr|<1.

Задача 29

Решить неравенство∣x(1−x)∣<0,05.|x(1-x)|<0{,}05.

Задача 30

Доказать тождество(x+∣x∣2)2+(x−∣x∣2)2=x2.\left(\frac{x+|x|}{2}\right)^2+
\left(\frac{x-|x|}{2}\right)^2=x^2.

Абсолютная и относительная погрешность

31–40

Задача 31

При измерении длины в 1010 см абсолютная погрешность составляла 0,50{,}5 мм; при измерении расстояния в 500500 км абсолютная погрешность была равна 200200 м. Какое измерение точнее?

Задача 32

Определить, сколько верных знаков содержит числоx=2,3752,x=2{,}3752,если относительная погрешность этого числа составляет 1%1\%.

Задача 33

Числоx=12,125x=12{,}125содержит 33 верных знака. Определить, какова относительная погрешность этого числа.

Задача 34

Стороны прямоугольника равны:x=2,50 см±0,01 см,y=4,00 см±0,02 см.x=2{,}50\text{ см}\pm0{,}01\text{ см},\qquad
y=4{,}00\text{ см}\pm0{,}02\text{ см}.В каких границах заключается площадь SS этого прямоугольника? Каковы абсолютная погрешность Δ\Delta и относительная погрешность δ\delta площади прямоугольника, если за стороны его принять средние значения?

Задача 35

Масса тела m=12,59 г±0,01 гm=12{,}59\text{ г}\pm0{,}01\text{ г}, а его объём V=3,2 см3±0,2 см3V=3{,}2\text{ см}^3\pm0{,}2\text{ см}^3. Определить плотность тела и оценить абсолютную и относительную погрешности плотности, если за массу тела и его объём принять средние значения.

Задача 36

Радиус кругаr=7,2 м±0,1 м.r=7{,}2\text{ м}\pm0{,}1\text{ м}.С какой минимальной относительной погрешностью может быть определена площадь круга, если принять π=3,14\pi=3{,}14?

Задача 37

Известны измерения прямоугольного параллелепипеда:x=24,7 м±0,2 м,y=6,5 м±0,1 м,z=1,2 м±0,1 м.x=24{,}7\text{ м}\pm0{,}2\text{ м},\quad
y=6{,}5\text{ м}\pm0{,}1\text{ м},\quad
z=1{,}2\text{ м}\pm0{,}1\text{ м}.В каких границах заключается объём VV этого параллелепипеда? С какими абсолютной и относительной погрешностями может быть определён объём этого параллелепипеда, если за его измерения принять средние значения?

Задача 38

С какой абсолютной погрешностью следует измерить сторону квадрата xx, где 2 м<x<3 м2\text{ м}<x<3\text{ м}, чтобы иметь возможность определить площадь этого квадрата с точностью до 0,001 м20{,}001\text{ м}^2?

Задача 39

С какими абсолютными погрешностями Δ\Delta достаточно измерить стороны xx и yy прямоугольника, чтобы площадь его можно было вычислить с точностью до 0,01 м20{,}01\text{ м}^2, если ориентировочно стороны прямоугольника не превышают 1010 м каждая?

Задача 40

Пусть δ(x)\delta(x) и δ(y)\delta(y) — относительные погрешности чисел xx и yy, δ(xy)\delta(xy) — относительная погрешность числа xyxy. Доказать, чтоδ(xy)≤δ(x)+δ(y)+δ(x)δ(y).\delta(xy)\le\delta(x)+\delta(y)+\delta(x)\delta(y).