Раздел I. Введение в анализ — § 10

Демидович § 10. Функциональные уравнения

Условия, ответы и подробные решения задач 809–820

Задачи 809–820

12 из 12 с разбором

Классические функциональные уравнения

809–820

Задача 809

Доказать, что единственная непрерывная функция

f(x)

(-\infty<x<+\infty)

, удовлетворяющая для всех вещественных значений

x

y

уравнению

f(x+y)=f(x)+f(y),\tag{1}

есть линейная однородная функция

f(x)=ax,

где

a=f(1)

- произвольная константа.

Задача 810

Доказать, что монотонная функция

f(x)

, удовлетворяющая уравнению (1), есть линейная однородная.

Задача 811

Доказать, что функция

f(x)

, удовлетворяющая уравнению (1) и ограниченная в сколь угодно малом интервале

(-\varepsilon,\varepsilon)

, есть линейная однородная.

Опирается на задачу 809

Задача 812

Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция

f(x)

(-\infty<x<+\infty)

, удовлетворяющая для всех значений

x

y

уравнению

f(x+y)=f(x)f(y),\tag{2}

есть показательная функция

f(x)=a^x,

где

a=f(1)

- положительная постоянная.

Опирается на задачу 809

Задача 813

Доказать, что не равная нулю тождественно функция

f(x)

, ограниченная в интервале

(0,\varepsilon)

и удовлетворяющая уравнению (2), есть показательная.

Опирается на задачу 811, задачу 812

Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция

f(x)

(0<x<+\infty)

, удовлетворяющая для всех положительных значений

x

y

уравнению

Задача 814

f(xy)=f(x)+f(y),

есть логарифмическая функция

f(x)=\log_a x,

где

a

- положительная константа.

Опирается на задачу 809

Задача 815

f(xy)=f(x)f(y),\tag{3}

есть степенная функция

f(x)=x^a,

где

a

- постоянная.

Опирается на задачу 812

Задача 816

Найти все непрерывные функции

f(x)

(-\infty<x<+\infty)

, удовлетворяющие для всех вещественных значений

x

y

уравнению (3).

Опирается на задачу 815

Задача 817

Показать, что разрывная функция

f(x)=\operatorname{sgn}x

удовлетворяет уравнению (3).

Задача 818

Найти все непрерывные функции

f(x)

(-\infty<x<+\infty)

, удовлетворяющие для всех вещественных значений

x

y

уравнению

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y).

Опирается на задачу 809, задачу 812

Задача 819

Найти все непрерывные ограниченные функции

f(x)

g(x)

(-\infty<x<+\infty)

, удовлетворяющие для всех вещественных значений

x

y

системе уравнений:

f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y),

g(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x),

и, сверх того, условиям нормировки:

f(0)=1\quad\text{и}\quad g(0)=0.

Указание. Рассмотреть функцию

F(x)=f^2(x)+g^2(x).

Опирается на задачу 812, задачу 818

Задача 820

Пусть

\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)

\Delta^2f(x)=\Delta\{\Delta f(x)\}

суть конечные разности функции

f(x)

соответственно первого и второго порядков.

Доказать, что если функция

f(x)

(-\infty<x<+\infty)

непрерывная и

\Delta^2f(x)\equiv0

, то эта функция линейная, т. е.

f(x)=ax+b

, где

a

b

- постоянные.

Опирается на задачу 809