Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 558

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 558

Найти пределlim⁡x→0(ax2+bx2ax+bx)1/x,a>0,b>0\lim_{x\to0}
\left(\frac{a^{x^2}+b^{x^2}}{a^x+b^x}\right)^{1/x},
\qquad a>0,\quad b>0
Ответ:1ab\frac1{\sqrt{ab}}

Решение

ОбозначимA(t)=at+bt2,u(t)=A(t)−1=(at−1)+(bt−1)2.A(t)=\frac{a^t+b^t}{2},\qquad
u(t)=A(t)-1=\frac{(a^t-1)+(b^t-1)}2.При t→0t\to0 имеем u(t)→0u(t)\to0 и по №541u(t)t⟶C=ln⁡a+ln⁡b2.\frac{u(t)}t\longrightarrow C=\frac{\ln a+\ln b}{2}.Используя LL из №554, получаемln⁡A(t)t=L(u(t))u(t)t⟶C.\frac{\ln A(t)}t=L(u(t))\frac{u(t)}t\longrightarrow C.Пусть yy — исходная степень. Множители 22 в числителе и знаменателе основания сокращаются, поэтомуln⁡y=ln⁡A(x2)−ln⁡A(x)x=xln⁡A(x2)x2−ln⁡A(x)x.\ln y=\frac{\ln A(x^2)-\ln A(x)}x
=x\frac{\ln A(x^2)}{x^2}-\frac{\ln A(x)}x.Первая нормированная дробь стремится к CC, но умножена на x→0x\to0; её вклад равен нулю. Вторая стремится к CC. Итак,ln⁡y⟶−C=−ln⁡a+ln⁡b2,y⟶1ab.\ln y\longrightarrow-C=-\frac{\ln a+\ln b}{2},\qquad
y\longrightarrow\frac1{\sqrt{ab}}.