Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 558

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{x\to0} \left(\frac{a^{x^2}+b^{x^2}}{a^x+b^x}\right)^{1/x}, \qquad a>0,\quad b>0

Ответ:

\frac1{\sqrt{ab}}

Решение

Идея

Обозначим исходное выражение через

y(x)

. При

x\to0

имеем

\begin{aligned} a^{x^2}+b^{x^2} &=2+x^2(\ln a+\ln b)+o(x^2)\\ a^x+b^x &=2+x(\ln a+\ln b)+o(x)\end{aligned}

Поэтому

\begin{aligned} \ln y(x) &=\frac1x\left[ \ln\left(1+\frac{x^2}{2}(\ln a+\ln b)+o(x^2)\right) -\ln\left(1+\frac{x}{2}(\ln a+\ln b)+o(x)\right) \right]\longrightarrow\\ &\longrightarrow-\frac{\ln a+\ln b}{2}\end{aligned}

Потенцирование даёт требуемый результат.