Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 568

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 568

Найти пределlim⁡x→+∞[(x+2)ln⁡(x+2)−2(x+1)ln⁡(x+1)+xln⁡x]\lim_{x\to+\infty}
\bigl[(x+2)\ln(x+2)-2(x+1)\ln(x+1)+x\ln x\bigr]
Ответ:00

Решение

Преобразуем выражение под знаком предела:(x+2)ln⁡(x+2)−2(x+1)ln⁡(x+1)+xln⁡x==xln⁡x(x+2)(x+1)2+2ln⁡x+2x+1==xln⁡(1−1(x+1)2)+2ln⁡(1+1x+1)\begin{aligned}
&(x+2)\ln(x+2)-2(x+1)\ln(x+1)+x\ln x=\\
&\quad=x\ln\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}
+2\ln\frac{x+2}{x+1}=\\
&\quad=x\ln\left(1-\frac1{(x+1)^2}\right)
+2\ln\left(1+\frac1{x+1}\right)
\end{aligned}С функцией LL из №554 эти два слагаемых равны−x(x+1)2L(−1(x+1)2),2x+1L(1x+1).-\frac{x}{(x+1)^2}L\left(-\frac1{(x+1)^2}\right),\qquad
\frac2{x+1}L\left(\frac1{x+1}\right).Аргументы LL стремятся к нулю, поэтому оба значения LL стремятся к 11. Множители перед ними стремятся к нулю: x/(x+1)2=(1/x)/(1+1/x)2→0x/(x+1)^2=(1/x)/(1+1/x)^2\to0, 2/(x+1)→02/(x+1)\to0. По правилу предела суммы ответ равен 00.