Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 568

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{x\to+\infty} \bigl[(x+2)\ln(x+2)-2(x+1)\ln(x+1)+x\ln x\bigr]

Ответ:

0

Решение

Преобразуем выражение под знаком предела:

\begin{aligned} &(x+2)\ln(x+2)-2(x+1)\ln(x+1)+x\ln x=\\ &\quad=x\ln\frac{x(x+2)}{(x+1)^2} +2\ln\frac{x+2}{x+1}=\\ &\quad=x\ln\left(1-\frac1{(x+1)^2}\right) +2\ln\left(1+\frac1{x+1}\right)\end{aligned}

Первое слагаемое эквивалентно

-\dfrac{x}{(x+1)^2}

, а второе —

\dfrac2{x+1}

.
Оба слагаемых стремятся к нулю.