Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 570

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 570

Найти пределlim⁡x→+∞(ln⁡x+x2+1x+x2−1⋅ln⁡−2x+1x−1)\lim_{x\to+\infty}
\left(
\ln\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}}
\cdot
\ln^{-2}\frac{x+1}{x-1}
\right)
Ответ:18\frac18

Решение

Обозначим логарифмы черезA=ln⁡x+x2+1x+x2−1,B=ln⁡x+1x−1.A=\ln\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}},\qquad B=\ln\frac{x+1}{x-1}.Запись ln⁡−2\ln^{-2} означает обратный квадрат логарифма, поэтому ищем предел A/B2A/B^2. Рассматриваем x>1x>1: все аргументы положительны и B>0B>0.
В первом логарифме вычтем единицу из аргумента и рационализируем:u=x2+1−x2−1x+x2−1=2(x2+1+x2−1)(x+x2−1).u=\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}
=\frac2{(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})}.Тогда A=ln⁡(1+u)A=\ln(1+u), u→0u\to0. Деление каждой скобки на xx даётx2u=2(1+1/x2+1−1/x2)(1+1−1/x2)⟶2(1+1)(1+1)=12.x^2u=\frac2{(\sqrt{1+1/x^2}+\sqrt{1-1/x^2})(1+\sqrt{1-1/x^2})}
\longrightarrow\frac2{(1+1)(1+1)}=\frac12.Значит, по №529 x2A=(x2u)ln⁡(1+u)/u→1/2x^2A=(x^2u)\ln(1+u)/u\to1/2.
Для второго логарифма положим v=2/(x−1)v=2/(x-1), тогда B=ln⁡(1+v)B=\ln(1+v) иxB=2xx−1ln⁡(1+v)v⟶2⋅1=2.xB=\frac{2x}{x-1}\frac{\ln(1+v)}v\longrightarrow2\cdot1=2.Теперь все растущие и малые величины объединены в выражения с конечными пределами:AB2=x2A(xB)2⟶1/222=18.\frac{A}{B^2}=\frac{x^2A}{(xB)^2}\longrightarrow\frac{1/2}{2^2}=\frac18.