Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 570

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 570

Найти пределlim⁡x→+∞(ln⁡x+x2+1x+x2−1⋅ln⁡−2x+1x−1)\lim_{x\to+\infty}
\left(
\ln\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}}
\cdot
\ln^{-2}\frac{x+1}{x-1}
\right)
Ответ:18\frac18

Решение

Идея

Обозначим
Ax=ln⁡x+x2+1x+x2−1A_x=\ln\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}} и
Bx=ln⁡x+1x−1B_x=\ln\dfrac{x+1}{x-1}. Для первого логарифма имеем

Проверка

eAx−1=x2+1−x2−1x+x2−1==2(x2+1+x2−1)(x+x2−1)∼12x2\begin{aligned}
e^{A_x}-1
&=\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}
{x+\sqrt{x^2-1}}=\\
&=\frac{2}
{\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\right)
\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}
\sim\frac1{2x^2}
\end{aligned}Так как ln⁡(1+u)∼u\ln(1+u)\sim u при u→0u\to0, то
Ax∼12x2A_x\sim\dfrac1{2x^2}. Кроме того,
Bx=ln⁡(1+2x−1)∼2xB_x=\ln\left(1+\dfrac2{x-1}\right)\sim\dfrac2x.
Следовательно,AxBx−2∼1/(2x2)4/x2=18\begin{aligned}
A_xB_x^{-2}
&\sim\frac{1/(2x^2)}{4/x^2}
=\frac18
\end{aligned}
Демидович № 570 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика