Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 564

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 564

Доказать, что при a>1a>1 и n>0n>0lim⁡x→+∞xnax=0\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{a^x}=0
Доказано:00

Доказательство

Сначала получим оценку ln⁡x/x\ln x/x. Для x⩾1x\geqslant1 применим неравенство ln⁡z⩽z−1\ln z\leqslant z-1 из №368в к z=xz=\sqrt x:
0⩽ln⁡x=2ln⁡x⩽2(x−1)⩽2x.0\leqslant\ln x=2\ln\sqrt x\leqslant2(\sqrt x-1)\leqslant2\sqrt x.После деления на x>0x>0 имеем0⩽ln⁡xx⩽2x⟶0.0\leqslant\frac{\ln x}{x}\leqslant\frac2{\sqrt x}\longrightarrow0.Теперь запишем исходную дробь через экспоненту:xnax=exp⁡(nln⁡x−xln⁡a)=exp⁡[x(nln⁡xx−ln⁡a)].\frac{x^n}{a^x}=\exp(n\ln x-x\ln a)
=\exp\left[x\left(n\frac{\ln x}{x}-\ln a\right)\right].Так как a>1a>1, число ln⁡a\ln a положительно. Дляx>max⁡{1,(4nln⁡a)2}x>\max\left\{1,\left(\frac{4n}{\ln a}\right)^2\right\}наша оценка даёт nln⁡x/x⩽2n/x<ln⁡a/2n\ln x/x\leqslant2n/\sqrt x<\ln a/2. Откуда появился этот порог: решаем неравенство 2n/x<ln⁡a/22n/\sqrt x<\ln a/2 относительно xx.
Следовательно,0<xnax⩽e−xln⁡a/2=(1a)x⟶0,0<\frac{x^n}{a^x}\leqslant e^{-x\ln a/2}
=\left(\frac1{\sqrt a}\right)^x\longrightarrow0,поскольку 0<1/a<10<1/\sqrt a<1. По теореме о зажатой функцииlim⁡x→+∞xnax=0.\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{a^x}=0.Доказательство использует лишь n>0n>0 и не требует целочисленности nn.

Что и требовалось доказать