Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 564

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что при

a>1

n>0

\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{a^x}=0

Доказано:

0

Доказательство

Проверка

Положим

t=\ln x

. Тогда

t\to+\infty

\begin{aligned} \frac{x^n}{a^x} &=\exp(n\ln x-x\ln a) =\exp\left[x\left(n\frac{\ln x}{x}-\ln a\right)\right]\end{aligned}

Докажем, что

\dfrac{\ln x}{x}\to0

. После замены

x=e^t

получаем

\dfrac{\ln x}{x}=te^{-t}

. Для

t>0

из ряда экспоненты следует

e^t\geqslant\dfrac{t^2}{2}

, поэтому

0\leqslant te^{-t}\leqslant\frac2t\longrightarrow0

Значит, при достаточно больших

x

выполняется

n\dfrac{\ln x}{x}<\dfrac{\ln a}{2}

, откуда

0<\frac{x^n}{a^x} \leqslant e^{-x\ln a/2}\longrightarrow0

Тем самым требуемое утверждение доказано.

Что и требовалось доказать