Раздел I. Введение в анализ — § 5

Демидович § 5. Предел функции

Условия, ответы и подробные решения задач 381–644

Задачи 381–644

268 из 268 с разбором

Пределы сумм и вычисление площади

429–434

Задача 431

lim⁡n→∞12+32+…+(2n−1)222+42+…+(2n)2.\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+3^2+\ldots+(2n-1)^2}{2^2+4^2+\ldots+(2n)^2}.

Задача 432

lim⁡n→∞(13+23+…+n3n3−n4).\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^3+2^3+\ldots+n^3}{n^3}-\frac n4\right).

Задача 433

lim⁡n→∞13+43+73+…+(3n−2)3[1+4+7+…+(3n−2)]2.\lim_{n\to\infty}\frac{1^3+4^3+7^3+\ldots+(3n-2)^3}{[1+4+7+\ldots+(3n-2)]^2}.

Задача 434

Определить площадь криволинейного треугольника OAMOAM (рис. 3), ограниченного параболойy=b(xa)2,y=b\left(\frac xa\right)^2,осью OxOx и прямой x=ax=a, рассматривая ее как предел суммы площадей вписанных прямоугольников с основаниями an\dfrac an, где n→∞n\to\infty.

Пределы с радикалами и асимптоты

435–470

Задача 435

lim⁡x→+∞x+x+xx+1.\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}.

Задача 436

lim⁡x→+∞x+x3+x42x+1.\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}}.

Задача 437

lim⁡x→41+2x−3x−2.\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}.

Задача 438

lim⁡x→−81−x−32+x3.\lim_{x\to-8}\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}.

Задача 439

lim⁡x→ax−a+x−ax2−a2(a>0).\lim_{x\to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt a+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}\quad(a>0).

Задача 440

lim⁡x→3x+13−2x+1x2−9.\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}.

Задача 441

lim⁡x→−2x−63+2x3+8.\lim_{x\to-2}\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}.

Задача 442

lim⁡x→16x4−2x−4.\lim_{x\to16}\frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}.

Задача 443

lim⁡x→89+2x−5x3−2.\lim_{x\to8}\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}.

Задача 444

lim⁡x→01+xn−1x(n — целое число).\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}\quad(n\text{ — целое число}).

Задача 445

lim⁡x→01−2x−x2−(1+x)x.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}.

Задача 446

lim⁡x→08+3x−x23−2x+x2.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2}.

Задача 447

lim⁡x→027+x3−27−x3x+2x43.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{27+x}-\sqrt[3]{27-x}}{x+2\sqrt[3]{x^4}}.

Задача 448

lim⁡x→01+x−1−x1+x3−1−x3.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}.

Задача 449

lim⁡x→7x+2−x+203x+94−2.\lim_{x\to7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}.

Задача 450

lim⁡x→01+x33−1+x441−1−x2.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1+\frac x3}-\sqrt[4]{1+\frac x4}}{1-\sqrt{1-\frac x2}}.

Задача 451

lim⁡x→0x21+5x5−(1+x).\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}.

Задача 452

lim⁡x→01+αxm−1+βxnx(m и n — целые числа).\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-\sqrt[n]{1+\beta x}}{x}\quad(m\text{ и }n\text{ — целые числа}).

Задача 453

lim⁡x→01+αxm1+βxn−1x(m и n — целые числа).\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}\sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}
\quad(m\text{ и }n\text{ — целые числа}).

Задача 454

Пусть P(x)=a1x+a2x2+…+anxnP(x)=a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n и mm — целое число.

Доказать, чтоlim⁡x→01+P(x)m−1x=a1m.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[m]{1+P(x)}-1}{x}=\frac{a_1}{m}.

Задача 455

1. lim⁡x→1xm−1xn−1(m и n — целые числа).\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}\quad(m\text{ и }n\text{ — целые числа}).2. lim⁡x→1(31−x−31−x3).\lim_{x\to1}\left(\frac3{1-\sqrt{x}}-\frac3{1-\sqrt[3]{x}}\right).

Задача 456

lim⁡x→1(1−x)(1−x3)⋯(1−xn)(1−x)n−1.\lim_{x\to1}\frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})\cdots(1-\sqrt[n]{x})}{(1-x)^{n-1}}.

Задача 457

lim⁡x→+∞[(x+a)(x+b)−x].\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right].

Задача 458

lim⁡x→+∞(x+x+x−x).\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right).

Задача 459

lim⁡x→+∞x(x2+2x−2x2+x+x).\lim_{x\to+\infty}x\left(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x\right).

Задача 460

lim⁡x→+0(1x+1x+1x−1x−1x+1x).\lim_{x\to+0}\left(\sqrt{\frac1x+\sqrt{\frac1x+\sqrt{\frac1x}}}-\sqrt{\frac1x-\sqrt{\frac1x+\sqrt{\frac1x}}}\right).

Задача 461

lim⁡x→∞(x3+x2+13−x3−x2+13).\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-\sqrt[3]{x^3-x^2+1}\right).

Задача 462

lim⁡x→+∞(x3+3x23−x2−2x).\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right).

Задача 463

lim⁡x→∞x13[(x+1)23−(x−1)23].\lim_{x\to\infty}x^{\frac13}\left[(x+1)^{\frac23}-(x-1)^{\frac23}\right].

Задача 464

lim⁡x→+∞x32(x+2−2x+1+x).\lim_{x\to+\infty}x^{\frac32}\left(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right).

Опирается на задачу 459

Задача 465

lim⁡x→+∞[(x+a1)⋯(x+an)n−x].\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt[n]{(x+a_1)\cdots(x+a_n)}-x\right].

Задача 466

lim⁡x→+∞(x−x2−1)n+(x+x2−1)nxn(n — натуральное число).\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^n+\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}\quad(n\text{ — натуральное число}).

Задача 467

lim⁡x→0(1+x2+x)n−(1+x2−x)nx(n — натуральное число).\lim_{x\to0}\frac{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n}{x}\quad(n\text{ — натуральное число}).

Задача 468

Изучить поведение корней x1x_1 и x2x_2 квадратного уравненияax2+bx+c=0,ax^2+bx+c=0,у которого коэффициент aa стремится к нулю, а коэффициенты bb и cc постоянны, причем b≠0b\ne0.

Задача 469

Найти постоянные aa и bb из условия:lim⁡x→∞(x2+1x+1−ax−b)=0.\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b\right)=0.

Задача 470

Найти постоянные aia_i и bib_i (i=1,2i=1,2) из условий:lim⁡x→−∞(x2−x+1−a1x−b1)=0,\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a_1x-b_1\right)=0,lim⁡x→+∞(x2−x+1−a2x−b2)=0.\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a_2x-b_2\right)=0.

Тригонометрические пределы

471–505

Задача 471

lim⁡x→0sin⁡5xx.\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{x}.

Задача 472

lim⁡x→∞sin⁡xx.\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}.

Задача 473

lim⁡x→πsin⁡mxsin⁡nx(m и n — целые числа).\lim_{x\to\pi}\frac{\sin mx}{\sin nx}\quad(m\text{ и }n\text{ — целые числа}).

Задача 474

а) lim⁡x→01−cos⁡xx2;б) lim⁡x→0tg⁡xx;в) lim⁡x→0xctg⁡3x.\text{а) }\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2};\quad
\text{б) }\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x}{x};\quad
\text{в) }\lim_{x\to0}x\operatorname{ctg}3x.

Задача 475

lim⁡x→0tg⁡x−sin⁡xsin⁡3x.\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{\sin^3x}.

Опирается на задачу 474

Задача 476

lim⁡x→0sin⁡5x−sin⁡3xsin⁡x.\lim_{x\to0}\frac{\sin5x-\sin3x}{\sin x}.

Задача 477

lim⁡x→0cos⁡x−cos⁡3xx2.\lim_{x\to0}\frac{\cos x-\cos3x}{x^2}.

Задача 478

lim⁡x→01+sin⁡x−cos⁡x1+sin⁡px−cos⁡px.\lim_{x\to0}\frac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin px-\cos px}.

Опирается на задачу 474

Задача 479

lim⁡x→π4tg⁡2x tg⁡(π4−x).\lim_{x\to\frac\pi4}\operatorname{tg}2x\,\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right).

Задача 480

lim⁡x→1(1−x)tg⁡πx2.\lim_{x\to1}(1-x)\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2}.

Задачи 51–100 из 268