Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 574

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 574

Найти пределlim⁡x→1(2−x)sec⁡(πx/2)\lim_{x\to1}(2-x)^{\sec(\pi x/2)}
Ответ:e2/πe^{2/\pi}

Решение

Положим h=x−1h=x-1 и обозначим исходное выражение через y(x)y(x).
Тогда h→0h\to0, 2−x=1−h2-x=1-h и
cos⁡πx2=cos⁡(π2+πh2)=−sin⁡πh2\begin{aligned}
\cos\frac{\pi x}{2}
&=\cos\left(\frac\pi2+\frac{\pi h}{2}\right)
=-\sin\frac{\pi h}{2}
\end{aligned}Поэтомуln⁡y(x)=\displaystyle \ln y(x)\mathrel{=}ln⁡(1−h)−sin⁡(πh/2)=\displaystyle \frac{\ln(1-h)}{-\sin(\pi h/2)}\mathrel{=}ln⁡(1−h)−h hsin⁡(πh/2)⟶1⋅2π=\displaystyle \frac{\ln(1-h)}{-h}\,
\frac{h}{\sin(\pi h/2)}\longrightarrow1\cdot\frac2\pi\mathrel{=}2π\displaystyle \frac2\piПосле потенцирования получаем искомый предел.