Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 574

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{x\to1}(2-x)^{\sec(\pi x/2)}

Ответ:

e^{2/\pi}

Решение

Идея

Положим

h=x-1

и обозначим исходное выражение через

y(x)

.
Тогда

h\to0

2-x=1-h

\begin{aligned} \cos\frac{\pi x}{2} &=\cos\left(\frac\pi2+\frac{\pi h}{2}\right) =-\sin\frac{\pi h}{2}\end{aligned}

Поэтому

\begin{aligned} \ln y(x) &=\frac{\ln(1-h)}{-\sin(\pi h/2)}=\\ &=\frac{\ln(1-h)}{-h}\, \frac{h}{\sin(\pi h/2)}\longrightarrow1\cdot\frac2\pi =\frac2\pi\end{aligned}

После потенцирования получаем искомый предел.