Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 563

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 563

Найти пределlim⁡x→1(1−x)log⁡x2\lim_{x\to1}(1-x)\log_x2
Ответ:−ln⁡2-\ln2

Решение

Основание логарифма должно удовлетворять x>0x>0, x≠1x\ne1. По формуле перехода к натуральному логарифму
(1−x)log⁡x2=(1−x)ln⁡2ln⁡x=−ln⁡2 x−1ln⁡x.(1-x)\log_x2=(1-x)\frac{\ln2}{\ln x}
=-\ln2\,\frac{x-1}{\ln x}.Положим t=x−1t=x-1. Тогда ln⁡x=ln⁡(1+t)\ln x=\ln(1+t), и по №529ln⁡xx−1=ln⁡(1+t)t⟶1.\frac{\ln x}{x-1}=\frac{\ln(1+t)}t\longrightarrow1.Обратное отношение также стремится к 11. Следовательно,lim⁡x→1(1−x)log⁡x2=−ln⁡2.\lim_{x\to1}(1-x)\log_x2=-\ln2.