Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 567

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+xe^x)}{\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}

Ответ:

1

Решение

Идея

В числителе

xe^x\sim x

, поэтому

\ln(1+xe^x)\sim x

. Для знаменателя используем тождество

Проверка

\left(\sqrt{1+x^2}+x\right) \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)=1

и предел

\begin{aligned} \frac{\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}x &=\frac{\ln(1+u)}u\, \frac{u}{x}\longrightarrow1\end{aligned}

где

u=x+\sqrt{1+x^2}-1

\begin{aligned} \frac ux &=1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}+1} \longrightarrow1\end{aligned}

Таким образом, и числитель, и знаменатель эквивалентны

x