Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 567

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 567

Найти пределlim⁡x→0ln⁡(1+xex)ln⁡(x+1+x2)\lim_{x\to0}
\frac{\ln(1+xe^x)}{\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}
Ответ:11

Решение

В достаточно малой окрестности нуля 1+xex>01+xe^x>0. Второй аргумент положителен для всех xx, так как 1+x2>∣x∣\sqrt{1+x^2}>|x|.
Разделим числитель и знаменатель исходной дроби на xx. Для числителя по №529 получаемln⁡(1+xex)x=ln⁡(1+xex)xex ex⟶1⋅1=1.\frac{\ln(1+xe^x)}x
=\frac{\ln(1+xe^x)}{xe^x}\,e^x\longrightarrow1\cdot1=1.Для знаменателя положим u=x+1+x2−1u=x+\sqrt{1+x^2}-1. Рационализируем разность корней:ux=1+1+x2−1x=1+x1+x2+1⟶1.\frac ux=1+\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}
=1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}+1}\longrightarrow1.Так как u→0u\to0, используя LL из №554, имеемln⁡(x+1+x2)x=L(u)ux⟶1.\frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{x}
=L(u)\frac ux\longrightarrow1.Предел нормированного знаменателя ненулевой, значит, деление законно иlim⁡x→0ln⁡(1+xex)ln⁡(x+1+x2)=11=1.\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+xe^x)}{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}=\frac11=1.