Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 553

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 553

Найти пределlim⁡n→∞n2(xn−xn+1),x>0\lim_{n\to\infty}n^2
\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right),
\qquad x>0
Ответ:ln⁡x\ln x

Решение

Проверка

Обозначим L=ln⁡xL=\ln x. Тогдаn2(xn−xn+1)=n2eL/(n+1)(eL/(n(n+1))−1)==eL/(n+1)nn+1LeL/(n(n+1))−1L/(n(n+1))\begin{aligned}
n^2\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right)
&=n^2e^{L/(n+1)}
\left(e^{L/(n(n+1))}-1\right)=\\
&=e^{L/(n+1)}\frac{n}{n+1}L
\frac{e^{L/(n(n+1))}-1}{L/(n(n+1))}
\end{aligned}При L≠0L\ne0 все множители, кроме LL, стремятся к 11; здесь
использован предел lim⁡u→0eu−1u=1\lim\limits_{u\to0}\dfrac{e^u-1}{u}=1.
При L=0L=0 исходное выражение равно нулю. Следовательно, предел равен LL.