Раздел I. Введение в анализ — § 3

Демидович § 3. Понятие функции

Условия, ответы и подробные решения задач 151–236

Задачи 151–236

86 из 86 с разбором

Область определения

151–165
Определить области существования следующих функций:

Задача 151

y=x21+x.y=\frac{x^2}{1+x}.

Задача 152

y=3x−x3.y=\sqrt{3x-x^3}.

Задача 153

y=(x−2)1+x1−x.y=(x-2)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.

Задача 154

а) y=log⁡(x2−4);б) y=log⁡(x+2)+log⁡(x−2).\text{а) }y=\log(x^2-4);\qquad \text{б) }y=\log(x+2)+\log(x-2).

Задача 155

y=sin⁡(x).y=\sqrt{\sin(\sqrt{x})}.

Задача 156

y=cos⁡x2.y=\sqrt{\cos x^2}.

Задача 157

y=lg⁡(sin⁡πx).y=\lg\left(\sin\frac{\pi}{x}\right).

Задача 158

y=xsin⁡πx.y=\frac{\sqrt{x}}{\sin\pi x}.

Задача 159

y=arcsin⁡2x1+x.y=\arcsin\frac{2x}{1+x}.

Задача 160

y=arccos⁡(2sin⁡x).y=\arccos(2\sin x).

Задача 161

y=lg⁡[cos⁡(lg⁡x)].y=\lg[\cos(\lg x)].

Задача 162

y=(x+∣x∣)xsin⁡2πx.y=(x+|x|)\sqrt{x\sin^2\pi x}.

Задача 163

y=ctg⁡πx+arccos⁡(2x).y=\operatorname{ctg}\pi x+\arccos(2^x).

Задача 164

y=arcsin⁡(1−x)+lg⁡(lg⁡x).y=\arcsin(1-x)+\lg(\lg x).

Задача 165

а) y=(2x)!;б) y=log⁡2log⁡3log⁡4x;в) y=lg⁡tg⁡x4;\text{а) }y=(2x)!;\qquad \text{б) }y=\log_2\log_3\log_4x;\qquad \text{в) }y=\sqrt[4]{\lg\operatorname{tg}x};г) y=sin⁡2x+sin⁡3x(0≤x≤2π).\text{г) }y=\sqrt{\sin2x}+\sqrt{\sin3x}\qquad(0\le x\le2\pi).

Область определения и множество значений

166–170
Определить области существования и множество значений следующих функций:

Задача 166

y=2+x−x2.y=\sqrt{2+x-x^2}.

Задача 167

y=lg⁡(1−2cos⁡x).y=\lg(1-2\cos x).

Задача 168

y=arccos⁡2x1+x2.y=\arccos\frac{2x}{1+x^2}.

Задача 169

y=arcsin⁡(lg⁡x10).y=\arcsin\left(\lg\frac{x}{10}\right).

Задача 170

y=(−1)x.y=(-1)^x.

Составление и графики специальных функций

171–177

Задача 171

В треугольник ABCABC, основание которого AC=bAC=b и высота BD=hBD=h,
вписан прямоугольник KLMNKLMN, высота которого NM=xNM=x.
Выразить периметр PP прямоугольника KLMNKLMN и его площадь SS
как функции от xx. Построить графики функций P=P(x)P=P(x) и S=S(x)S=S(x).

Задача 172

В треугольнике ABCABC сторона AB=6AB=6 см, сторона AC=8AC=8 см и угол
BAC=xBAC=x. Выразить BC=aBC=a и площадь SS треугольника ABCABC как функции
переменной xx. Построить графики функций a=a(x)a=a(x) и S=S(x)S=S(x).

Задача 173

В равнобедренной трапеции ABCDABCD, основания которой AD=aAD=a и BC=bBC=b
(a>b)(a>b), а высота HB=hHB=h, проведена прямая MN∥HBMN\parallel HB и отстоящая
от вершины AA на расстоянии AM=xAM=x. Выразить площадь SS фигуры
ABNMAABNMA как функцию переменной xx. Построить график функции S=S(x)S=S(x).

Задача 174

На сегменте 0≤x≤10\le x\le1 оси OxOx равномерно распределена масса,
равная 22 г, а в точках этой оси x=2x=2 и x=3x=3 находятся
сосредоточенные массы по 11 г в каждой. Составить аналитическое
выражение функции m=m(x)m=m(x) (−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty), численно равной массе,
находящейся в интервале (−∞,x)(-\infty,x), и построить график этой функции.

Задача 175

Функция y=sgn⁡xy=\operatorname{sgn}x определяется следующим образом:sgn⁡x={−1,если x<0,0,если x=0,1,если x>0\operatorname{sgn}x=
\begin{cases}
-1,&\text{если }x<0,\\
0,&\text{если }x=0,\\
1,&\text{если }x>0
\end{cases}Построить график этой функции. Показать, что∣x∣=xsgn⁡x|x|=x\operatorname{sgn}x

Задача 176

Функция y=[x]y=[x] (целая часть числа xx) определяется следующим образом:
если x=n+rx=n+r, где nn — целое число и 0≤r<10\le r<1, то [x]=n[x]=n.
Построить график этой функции.

Задача 177

Пустьy=π(x)(x≥0)y=\pi(x)\qquad(x\ge0)обозначает число простых чисел, не превышающих числа xx.
Построить график этой функции для значений аргумента 0≤x≤200\le x\le20.

Образ множества при отображении

178–182
На какое множество EyE_y отображает множество ExE_x функция y=f(x)y=f(x), если:

Задача 178

y=x2,Ex={−1≤x≤2}.y=x^2,\qquad E_x=\{-1\le x\le2\}.

Задача 179

y=lg⁡x,Ex={10<x<1000}.y=\lg x,\qquad E_x=\{10<x<1000\}.

Задача 180

y=1πarcctg⁡x,Ex={−∞<x<∞}.y=\frac1\pi\operatorname{arcctg}x,\qquad E_x=\{-\infty<x<\infty\}.

Задача 181

y=ctg⁡πx4,Ex={0<∣x∣≤1}.y=\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{4},\qquad E_x=\{0<|x|\le1\}.

Задача 182

y=∣x∣,Ex={1≤∣x∣≤2}.y=|x|,\qquad E_x=\{1\le|x|\le2\}.

Множество значений функции

183–188
Переменная xx пробегает интервал 0<x<10<x<1. Определить, какое множество пробегает переменная yy, если:

Задача 183

y=a+(b−a)x.y=a+(b-a)x.

Задача 184

y=11−x.y=\frac1{1-x}.

Задача 185

y=x2x−1.y=\frac{x}{2x-1}.

Задача 186

y=x−x2.y=\sqrt{x-x^2}.

Задача 187

y=ctg⁡πx.y=\operatorname{ctg}\pi x.

Задача 188

y=x+[2x].y=x+[2x].

Вычисление значений функции

189–193

Задача 189

Найти f(0),f(1),f(2),f(3),f(4)f(0),f(1),f(2),f(3),f(4), еслиf(x)=x4−6x3+11x2−6x.f(x)=x^4-6x^3+11x^2-6x.

Задача 190

Найти f(−1),f(−0,001),f(100)f(-1),f(-0{,}001),f(100), еслиf(x)=lg⁡x2.f(x)=\lg x^2.

Задача 191

Найти f(0,9),f(0,99),f(0,999),f(1)f(0{,}9),f(0{,}99),f(0{,}999),f(1), еслиf(x)=1+[x].f(x)=1+[x].

Задача 192

Найти f(−2),f(−1),f(0),f(1),f(2)f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2), еслиf(x)={1+x,при −∞<x≤0,2x,при 0<x<+∞.f(x)=\begin{cases}1+x,&\text{при }-\infty<x\le0,\\2^x,&\text{при }0<x<+\infty.\end{cases}

Задача 193

Найти f(0),f(−x),f(x+1),f(x)+1,f ⁣(1x),1f(x)f(0),f(-x),f(x+1),f(x)+1,f\!\left(\frac1x\right),\frac1{f(x)}, еслиf(x)=1−x1+x.f(x)=\frac{1-x}{1+x}.

Нули, разности и восстановление функций

194–200

Задача 194

Найти значения xx, для которых: 1) f(x)=0f(x)=0; 2) f(x)>0f(x)>0; 3) f(x)<0f(x)<0, если:а) f(x)=x−x2;б) f(x)=sin⁡πx;в) f(x)=(x+∣x∣)(1−x).\text{а) }f(x)=x-x^2;\qquad \text{б) }f(x)=\sin\frac\pi x;\qquad \text{в) }f(x)=(x+|x|)(1-x).

Задача 195

Найтиφ(x)=f(x+h)−f(x)h,\varphi(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}h,если:а) f(x)=ax+b;б) f(x)=x2;в) f(x)=ax.\text{а) }f(x)=ax+b;\qquad \text{б) }f(x)=x^2;\qquad \text{в) }f(x)=a^x.

Задача 196

Пустьf(x)=ax2+bx+c.f(x)=ax^2+bx+c.Показать, чтоf(x+3)−3f(x+2)+3f(x+1)−f(x)≡0.f(x+3)-3f(x+2)+3f(x+1)-f(x)\equiv0.

Задача 197

Найти целую линейную функциюf(x)=ax+b,f(x)=ax+b,если f(0)=−2f(0)=-2 и f(3)=5f(3)=5.

Чему равны f(1)f(1) и f(2)f(2) (линейная интерполяция)?

Задача 198

Найти целую рациональную функцию второй степени:f(x)=ax2+bx+c,f(x)=ax^2+bx+c,если f(−2)=0f(-2)=0, f(0)=1f(0)=1, f(1)=5f(1)=5.

Чему равны f(−1)f(-1) и f(0,5)f(0{,}5) (квадратичная интерполяция)?

Задача 199

Найти целую рациональную функцию третьей степени:f(x)=ax3+bx2+cx+d,f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,если f(−1)=0f(-1)=0, f(0)=2f(0)=2, f(1)=−3f(1)=-3, f(2)=5f(2)=5.

Задача 200

Найти функцию видаf(x)=a+bcx,f(x)=a+bc^x,если f(0)=15f(0)=15, f(2)=30f(2)=30, f(4)=90f(4)=90.

Задачи 1–50 из 86