Раздел I. Введение в анализ — § 6

Демидович § 6. O-символика

Условия, ответы и подробные решения задач 645–661

Задачи 645–661

17 из 17 с разбором

O-символика и асимптотические эквивалентности

645–652

Задача 645

Считая центральный угол AOB=xAOB=x (рис. 4) бесконечно малой 1-го порядка, определить порядки малости следующих величин:

а) хорды ABAB; б) стрелки CDCD; в) площади сектора AOBAOB; г) площади треугольника ABCABC; д) площади трапеции ABB1A1ABB_1A_1; е) площади сегмента ABCABC.график к задаче Демидовича № 645

Рисунок выполнен схематически; малый угол xx увеличен для наглядности.

Задача 646

Пусть f(x)>0f(x)>0 в некоторой проколотой окрестности точки aa. Обозначение u(x)=o(f(x))u(x)=o(f(x)) означает, чтоu(x)f(x)⟶0(x→a),\frac{u(x)}{f(x)}\longrightarrow0
\qquad (x\to a),а u(x)=O(f(x))u(x)=O(f(x)) означает, что отношение u(x)f(x)\frac{u(x)}{f(x)} ограничено в этой окрестности. Равенства ниже понимаются как равенства соответствующих классов функций.

Показать, что:а) o(o(f(x)))=o(f(x));б) O(o(f(x)))=o(f(x));\text{а) }o(o(f(x)))=o(f(x));
\qquad
\text{б) }O(o(f(x)))=o(f(x));в) o(O(f(x)))=o(f(x));г) O(O(f(x)))=O(f(x));\text{в) }o(O(f(x)))=o(f(x));
\qquad
\text{г) }O(O(f(x)))=O(f(x));д) O(f(x))+o(f(x))=O(f(x))\text{д) }O(f(x))+o(f(x))=O(f(x))

Задача 647

Пусть x→0+x\to0+, n,m>0n,m>0. Показать, что:а) CO(xn)=O(xn)(C≠0 — постоянная)\text{а) }C O(x^n)=O(x^n)
\quad(C\ne0\text{ — постоянная})б) O(xn)+O(xm)=O(xn)(n<m)\text{б) }O(x^n)+O(x^m)=O(x^n)
\quad(n<m)в) O(xn)O(xm)=O(xn+m)\text{в) }O(x^n)O(x^m)=O(x^{n+m})

Задача 648

Пусть x→+∞x\to+\infty, n,m>0n,m>0 и C≠0C\ne0. Показать, что:а) CO(xn)=O(xn)\text{а) }C O(x^n)=O(x^n)б) O(xn)+O(xm)=O(xn)(n>m)\text{б) }O(x^n)+O(x^m)=O(x^n)
\quad(n>m)в) O(xn)O(xm)=O(xn+m)\text{в) }O(x^n)O(x^m)=O(x^{n+m})

Задача 649

Показать, что символ ∼\sim обладает свойствами:

1) рефлективности: φ(x)∼φ(x)\varphi(x)\sim\varphi(x);

2) симметрии: если φ(x)∼ψ(x)\varphi(x)\sim\psi(x), то ψ(x)∼φ(x)\psi(x)\sim\varphi(x);

3) транзитивности: если φ(x)∼ψ(x)\varphi(x)\sim\psi(x) и ψ(x)∼χ(x)\psi(x)\sim\chi(x), то φ(x)∼χ(x)\varphi(x)\sim\chi(x).

Задача 650

Пусть x→0x\to0. Доказать следующие равенства:а) 2x−x2=O(x);б) xsin⁡x=O(x32)\text{а) }2x-x^2=O(x);
\qquad
\text{б) }x\sin\sqrt{x}=O\left(x^{\frac32}\right)в) xsin⁡1x=O(∣x∣);г) ln⁡x=o(1xε)(ε>0)\text{в) }x\sin\frac1x=O(|x|);
\qquad
\text{г) }\ln x=o\left(\frac1{x^\varepsilon}\right)
\quad(\varepsilon>0)д) x+x+x∼x8;е) arctg⁡1x=O(1)\text{д) }\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\sim\sqrt[8]{x};
\qquad
\text{е) }\operatorname{arctg}\frac1x=O(1)ж) (1+x)n=1+nx+o(x)\text{ж) }(1+x)^n=1+nx+o(x)

Задача 651

Пусть x→+∞x\to+\infty. Доказать следующие равенства:а) 2x3−3x2+1=O(x3);б) x+1x2+1=O(1x)\text{а) }2x^3-3x^2+1=O(x^3);
\qquad
\text{б) }\frac{x+1}{x^2+1}=O\left(\frac1x\right)в) x+x2sin⁡x=O(x2);г) arctg⁡x1+x2=O(1x2)\text{в) }x+x^2\sin x=O(x^2);
\qquad
\text{г) }\frac{\operatorname{arctg} x}{1+x^2}=O\left(\frac1{x^2}\right)д) ln⁡x=o(xε)(ε>0);е) xpe−x=o(1x2)\text{д) }\ln x=o(x^\varepsilon)
\quad(\varepsilon>0);
\qquad
\text{е) }x^p e^{-x}=o\left(\frac1{x^2}\right)ж) x+x+x∼x;з) x2+xln⁡100x∼x2\text{ж) }\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\sim\sqrt{x};
\qquad
\text{з) }x^2+x\ln^{100}x\sim x^2

Задача 652

1. Доказать, что при достаточно большом x>0x>0 имеют место неравенства:а) x2+10x+100<0,001x3;б) ln⁡1000x<x\text{а) }x^2+10x+100<0{,}001x^3;
\qquad
\text{б) }\ln^{1000}x<\sqrt{x}в) x10ex<e2x\text{в) }x^{10}e^x<e^{2x}2. Доказать асимптотическую формулуx2+px+q=x+p2+O(1x)\sqrt{x^2+px+q}=x+\frac p2+O\left(\frac1x\right)при x→+∞x\to+\infty.

Главные члены и скорости роста

653–661

Задача 653

Пусть x→0x\to0. Выделить главный член вида CxnCx^n (CC — постоянная) и определить порядки малости относительно переменной xx следующих функций:а) 2x−3x3+x5;б) 1+x−1−x\text{а) }2x-3x^3+x^5;
\qquad
\text{б) }\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}в) 1−2x−1−3x3;г) tg⁡x−sin⁡x\text{в) }\sqrt{1-2x}-\sqrt[3]{1-3x};
\qquad
\text{г) }\operatorname{tg} x-\sin x

Задача 654

Пусть x→0+x\to0+. Показать, что функцииа) f(x)=1ln⁡x;б) f(x)=e−1x2\text{а) }f(x)=\frac1{\ln x};
\qquad
\text{б) }f(x)=e^{-\frac1{x^2}}не имеют главного члена вида CxnCx^n, где C≠0C\ne0 и n>0n>0, то есть ни при каком nn не может иметь место равенствоlim⁡x→0f(x)xn=k\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^n}=kгде kk — конечная величина, отличная от нуля.

Задача 655

Пусть x→1x\to1. Выделить главный член вида C(x−1)nC(x-1)^n и определить порядки малости относительно бесконечно малой x−1x-1 следующих функций. Дробные степени с нечётным знаменателем понимаются как действительные корни.а) x3−3x+2;б) 1−x3;в) ln⁡x\text{а) }x^3-3x+2;
\qquad
\text{б) }\sqrt[3]{1-\sqrt{x}};
\qquad
\text{в) }\ln xг) ex−e;д) xx−1\text{г) }e^x-e;
\qquad
\text{д) }x^x-1

Задача 656

Пусть x→+∞x\to+\infty. Выделить главный член вида CxnCx^n и определить порядки роста относительно бесконечно большой xx следующих функций:а) x2+100x+10 000;б) 2x5x3−3x+1\text{а) }x^2+100x+10\,000;
\qquad
\text{б) }\frac{2x^5}{x^3-3x+1}в) x2−x3+x;г) 1+1+x\text{в) }\sqrt[3]{x^2-x}+\sqrt{x};
\qquad
\text{г) }\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}

Задача 657

Пусть x→+∞x\to+\infty. Выделить главный член вида C(1x)nC\left(\frac1x\right)^n и определить порядки малости относительно бесконечно малой 1x\frac1x следующих функций:а) x+1x4+1;б) x+1−x\text{а) }\frac{x+1}{x^4+1};
\qquad
\text{б) }\sqrt{x+1}-\sqrt{x}в) x+2−2x+1+x;г) 1xsin⁡1x\text{в) }\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x};
\qquad
\text{г) }\frac1x\sin\frac1x

Задача 658

Пусть x→1x\to1 с той стороны, где рассматриваемая функция определена. Выделить главный член вида C(1x−1)nC\left(\frac1{x-1}\right)^n и определить порядок роста относительно 1x−1\frac1{x-1}; в пункте б) при x→1−x\to1- используется положительная величина 11−x\frac1{1-x}.а) x2x2−1;б) 1+x1−x;в) x1−x33\text{а) }\frac{x^2}{x^2-1};
\qquad
\text{б) }\sqrt{\frac{1+x}{1-x}};
\qquad
\text{в) }\frac{x}{\sqrt[3]{1-x^3}}г) 1sin⁡πx;д) ln⁡x(1−x)2\text{г) }\frac1{\sin\pi x};
\qquad
\text{д) }\frac{\ln x}{(1-x)^2}

Задача 659

Пусть x→+∞x\to+\infty и fn(x)=xnf_n(x)=x^n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots). Доказать, что:

1) для каждого n⩾2n\geqslant2 функция fn(x)f_n(x) растёт быстрее, чем предшествующая функция fn−1(x)f_{n-1}(x);

2) функция exe^x растёт быстрее, чем каждая из функций fn(x)f_n(x) (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots).

Задача 660

Пусть x→+∞x\to+\infty и fn(x)=xnf_n(x)=\sqrt[n]{x} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots). Доказать, что:

1) для каждого n⩾2n\geqslant2 функция fn(x)f_n(x) растёт медленнее, чем предшествующая функция fn−1(x)f_{n-1}(x);

2) функция f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x растёт медленнее, чем каждая из функций fn(x)f_n(x) (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots).

Задача 661

Доказать, что, какова бы ни была последовательность функцийf1(x), f2(x),…, fn(x),…(x0<x<+∞)f_1(x),\ f_2(x),\ldots,\ f_n(x),\ldots
\qquad(x_0<x<+\infty)можно построить функцию f(x)f(x), которая при x→+∞x\to+\infty растёт быстрее, чем каждая из функций fn(x)f_n(x) (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots).