Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 545.3

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 545.3

Вычислить пределlim⁡x→1sin⁡(πxα)sin⁡(πxβ)\lim_{x\to1}
\frac{\sin(\pi x^\alpha)}{\sin(\pi x^\beta)}
Ответ:αβ\dfrac\alpha\beta при β≠0\beta\ne0; при
β=0\beta=0 выражение не определено

Решение

Рассматриваем положительные xx около 11. При β=0\beta=0 знаменатель равен sin⁡π=0\sin\pi=0, и дробь не определена. При β≠0\beta\ne0, α=0\alpha=0 числитель равен нулю и предел равен 00.
Пусть оба параметра ненулевые. Из формулы приведенияsin⁡(πxγ)=sin⁡(π+π(xγ−1))=−sin⁡(π(xγ−1)).\sin(\pi x^\gamma)=\sin\bigl(\pi+\pi(x^\gamma-1)\bigr)
=-\sin\bigl(\pi(x^\gamma-1)\bigr).Оба минуса сокращаются. Выделим нормированные дроби:sin⁡(πxα)sin⁡(πxβ)=sin⁡(π(xα−1))π(xα−1)sin⁡(π(xβ−1))π(xβ−1)xα−1x−1xβ−1x−1.\frac{\sin(\pi x^\alpha)}{\sin(\pi x^\beta)}
=\frac{\dfrac{\sin(\pi(x^\alpha-1))}{\pi(x^\alpha-1)}}
{\dfrac{\sin(\pi(x^\beta-1))}{\pi(x^\beta-1)}}
\frac{\dfrac{x^\alpha-1}{x-1}}{\dfrac{x^\beta-1}{x-1}}.Первые две внутренние дроби стремятся к 11 по первому замечательному пределу. По формуле из №542 последние дроби стремятся соответственно к α\alpha и β\beta. Предел знаменателя β\beta ненулевой, поэтомуlim⁡x→1sin⁡(πxα)sin⁡(πxβ)=αβ.\lim_{x\to1}\frac{\sin(\pi x^\alpha)}{\sin(\pi x^\beta)}=\frac\alpha\beta.Формула верна и при α=0\alpha=0.