Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 569

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{x\to0+} \left[ \ln(x\ln a) \ln\left(\frac{\ln(ax)}{\ln(x/a)}\right) \right], \qquad a>1

Ответ:

2\ln a

Решение

Идея

Положим

t=-\ln x

c=\ln a>0

. При достаточно малом

x>0

имеем

t>c

, поэтому

Проверка

x\ln a>0, \qquad \frac{\ln(ax)}{\ln(x/a)}=\frac{t-c}{t+c}>0

Следовательно, оба логарифма определены. При

x\to0+

имеем

t\to+\infty

, а исходное выражение принимает вид

(-t+\ln c)\ln\frac{t-c}{t+c}

При этом

\begin{aligned} \ln\frac{t-c}{t+c} &=\ln\left(1-\frac{2c}{t+c}\right)\sim-\frac{2c}{t+c} \sim-\frac{2c}{t}\end{aligned}

-t+\ln c\sim-t

. Следовательно, произведение стремится к

2c