Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 569

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 569

Найти пределlim⁡x→0+[ln⁡(xln⁡a)ln⁡(ln⁡(ax)ln⁡(x/a))],a>1\lim_{x\to0+}
\left[
\ln(x\ln a)
\ln\left(\frac{\ln(ax)}{\ln(x/a)}\right)
\right],
\qquad a>1
Ответ:2ln⁡a2\ln a

Решение

Положим t=−ln⁡xt=-\ln x и c=ln⁡a>0c=\ln a>0. При достаточно малом x>0x>0
имеем t>ct>c, поэтому
xln⁡a>0,ln⁡(ax)ln⁡(x/a)=t−ct+c>0x\ln a>0,
\qquad
\frac{\ln(ax)}{\ln(x/a)}=\frac{t-c}{t+c}>0Следовательно, оба логарифма определены. При x→0+x\to0+ имеем
t→+∞t\to+\infty, а исходное выражение принимает вид(−t+ln⁡c)ln⁡t−ct+c(-t+\ln c)\ln\frac{t-c}{t+c}Положим u=−2c/(t+c)u=-2c/(t+c). Тогда u→0u\to0, иln⁡t−ct+c=ln⁡(1+u)=uL(u),\ln\frac{t-c}{t+c}=\ln(1+u)=uL(u),где L(u)→1L(u)\to1 по №554. Поэтому всё произведение равно(−t+ln⁡c)−2ct+cL(u)=2c 1−(ln⁡c)/t1+c/tL(u)⟶2c.(-t+\ln c)\frac{-2c}{t+c}L(u)
=2c\,\frac{1-(\ln c)/t}{1+c/t}L(u)\longrightarrow2c.Возвращаясь к c=ln⁡ac=\ln a, получаем 2ln⁡a2\ln a.