Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 559

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 559

Найти пределlim⁡x→0ax2−bx2(ax−bx)2,a>0,b>0\lim_{x\to0}
\frac{a^{x^2}-b^{x^2}}{(a^x-b^x)^2},
\qquad a>0,\quad b>0
Ответ:1ln⁡(a/b)при a≠b;при a=b выражение не определено\frac1{\ln(a/b)}\quad\text{при }a\ne b;
\qquad\text{при }a=b\text{ выражение не определено}

Решение

Идея

Сначала рассмотрим a≠ba\ne b. Используя
eu−1∼ue^u-1\sim u при u→0u\to0, получаем

Проверка

ax2−bx2=bx2(ex2ln⁡(a/b)−1)∼x2ln⁡abax−bx=bx(exln⁡(a/b)−1)∼xln⁡ab\begin{aligned}
a^{x^2}-b^{x^2}
&=b^{x^2}\left(e^{x^2\ln(a/b)}-1\right)
\sim x^2\ln\frac ab\\
a^x-b^x
&=b^x\left(e^{x\ln(a/b)}-1\right)
\sim x\ln\frac ab
\end{aligned}Следовательно,ax2−bx2(ax−bx)2⟶ln⁡(a/b)(ln⁡(a/b))2=1ln⁡(a/b)\begin{aligned}
\frac{a^{x^2}-b^{x^2}}{(a^x-b^x)^2}
&\longrightarrow
\frac{\ln(a/b)}{\left(\ln(a/b)\right)^2}
=\frac1{\ln(a/b)}
\end{aligned}Если a=ba=b, то при каждом x≠0x\ne0 и числитель, и знаменатель
равны нулю, поэтому исходная дробь не определена ни в одной проколотой
окрестности точки 00. В обычном смысле предел в этом случае не задан.
Демидович № 559 — решение и ответ