Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 559

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 559

Найти пределlim⁡x→0ax2−bx2(ax−bx)2,a>0,b>0\lim_{x\to0}
\frac{a^{x^2}-b^{x^2}}{(a^x-b^x)^2},
\qquad a>0,\quad b>0
Ответ:1ln⁡(a/b)при a≠b;при a=b выражение не определено\frac1{\ln(a/b)}\quad\text{при }a\ne b;
\qquad\text{при }a=b\text{ выражение не определено}

Решение

При a=ba=b знаменатель тождественно равен нулю, поэтому дробь не определена. Пусть a≠ba\ne b. Тогда ln⁡a−ln⁡b=ln⁡(a/b)≠0\ln a-\ln b=\ln(a/b)\ne0.
Разделим числитель и квадрат знаменателя на x2x^2:ax2−bx2(ax−bx)2=ax2−1x2−bx2−1x2(ax−1x−bx−1x)2.\frac{a^{x^2}-b^{x^2}}{(a^x-b^x)^2}
=\frac{\dfrac{a^{x^2}-1}{x^2}-\dfrac{b^{x^2}-1}{x^2}}
{\left(\dfrac{a^x-1}x-\dfrac{b^x-1}x\right)^2}.По №541 с аргументами x2x^2 и xx нормированный числитель стремится к ln⁡a−ln⁡b\ln a-\ln b, а выражение в квадрате — к тому же ненулевому числу. Поэтомуlim⁡x→0ax2−bx2(ax−bx)2=ln⁡(a/b)[ln⁡(a/b)]2=1ln⁡(a/b).\lim_{x\to0}\frac{a^{x^2}-b^{x^2}}{(a^x-b^x)^2}
=\frac{\ln(a/b)}{[\ln(a/b)]^2}=\frac1{\ln(a/b)}.