Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 547

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 547

Вычислить пределlim⁡x→0eαx−eβxsin⁡αx−sin⁡βx\lim_{x\to0}
\frac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}
{\sin\alpha x-\sin\beta x}
Ответ:11 при α≠β\alpha\ne\beta; при α=β\alpha=\beta
выражение не определено

Решение

Идея

Пусть α≠β\alpha\ne\beta. Используем стандартные эквивалентности
et−1∼te^t-1\sim t и sin⁡t∼t\sin t\sim t. Тогда

Проверка

eαx−eβx=eβx(e(α−β)x−1)∼(α−β)x\begin{aligned}
e^{\alpha x}-e^{\beta x}
&=e^{\beta x}\bigl(e^{(\alpha-\beta)x}-1\bigr)
\sim(\alpha-\beta)x
\end{aligned}иsin⁡αx−sin⁡βx∼(α−β)x\sin\alpha x-\sin\beta x
\sim(\alpha-\beta)xСледовательно,lim⁡x→0eαx−eβxsin⁡αx−sin⁡βx=1\lim_{x\to0}
\frac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}
{\sin\alpha x-\sin\beta x}=1Если α=β\alpha=\beta, числитель и знаменатель исходной дроби
тождественно равны нулю, поэтому сама дробь не определена.
Демидович № 547 — решение и ответ