Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 547

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 547

Вычислить пределlim⁡x→0eαx−eβxsin⁡αx−sin⁡βx\lim_{x\to0}
\frac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}
{\sin\alpha x-\sin\beta x}
Ответ:11 при α≠β\alpha\ne\beta; при α=β\alpha=\beta
выражение не определено

Решение

При α=β\alpha=\beta знаменатель тождественно равен нулю, и дробь не определена. Пусть α≠β\alpha\ne\beta. Делим числитель и знаменатель на xx:
eαx−eβxsin⁡αx−sin⁡βx=eαx−1x−eβx−1xsin⁡αxx−sin⁡βxx.\frac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}{\sin\alpha x-\sin\beta x}
=\frac{\dfrac{e^{\alpha x}-1}{x}-\dfrac{e^{\beta x}-1}{x}}
{\dfrac{\sin\alpha x}{x}-\dfrac{\sin\beta x}{x}}.Для любого постоянного c≠0c\ne0 из №541 и первого замечательного предела следуетecx−1x=cecx−1cx⟶c,sin⁡cxx=csin⁡cxcx⟶c.\frac{e^{cx}-1}{x}=c\frac{e^{cx}-1}{cx}\longrightarrow c,
\qquad
\frac{\sin cx}{x}=c\frac{\sin cx}{cx}\longrightarrow c.При c=0c=0 обе дроби равны нулю, так что формулы сохраняются. Нормированные числитель и знаменатель стремятся к одному числу α−β≠0\alpha-\beta\ne0. По правилу предела частногоlim⁡x→0eαx−eβxsin⁡αx−sin⁡βx=1.\lim_{x\to0}\frac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}{\sin\alpha x-\sin\beta x}=1.