Раздел I. Введение в анализ — § 5

Демидович § 5. Предел функции

Условия, ответы и подробные решения задач 381–644

Задачи 381–644

268 из 268 с разбором

Ограниченность функций

381–385

Задача 381

Показать, что функция, определяемая условиямиf(x)=n,если x=mn,f(x)=n,\quad \text{если }x=\frac{m}{n},где mm и nn — взаимно простые числа и n>0n>0, иf(x)=0,если x иррационально,f(x)=0,\quad \text{если }x\text{ иррационально},конечна, но не ограничена в каждой точке xx (т. е. не ограничена в любой окрестности этой точки).

Задача 382

Если функция f(x)f(x) определена и локально ограничена в каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то является ли эта функция ограниченной на данном интервале или соответственно сегменте?

Привести соответствующие примеры.

Задача 383

Показать, что функцияf(x)=1+x21+x4f(x)=\frac{1+x^2}{1+x^4}ограничена в интервале −∞<x<+∞-\infty<x<+\infty.

Задача 384

Показать, что функцияf(x)=1xcos⁡1xf(x)=\frac1x\cos\frac1xне ограничена в любой окрестности точки x=0x=0, однако не является бесконечно большой при x→0x\to0.

Задача 385

Исследовать на ограниченность функциюf(x)=ln⁡x⋅sin⁡2πxf(x)=\ln x\cdot\sin^2\frac{\pi}{x}в интервале 0<x<ε0<x<\varepsilon.

Инфимум, супремум и колебание функций

386–400

Задача 386

Показать, что функцияf(x)=x1+xf(x)=\frac{x}{1+x}в области 0≤x<+∞0\le x<+\infty имеет нижнюю грань m=0m=0 и верхнюю грань M=1M=1.

Задача 387

Функция f(x)f(x) определена и монотонно возрастает на сегменте [a,b][a,b]. Чему равны ее нижняя и верхняя грани на этом сегменте?
Определить нижнюю и верхнюю грани функции на указанном промежутке.

Задача 388

f(x)=x2на [−2,5].f(x)=x^2\quad\text{на }[-2,5].

Задача 389

f(x)=11+x2на (−∞,+∞).f(x)=\frac1{1+x^2}\quad\text{на }(-\infty,+\infty).

Задача 390

f(x)=2x1+x2на (0,+∞).f(x)=\frac{2x}{1+x^2}\quad\text{на }(0,+\infty).

Задача 391

f(x)=x+1xна (0,+∞).f(x)=x+\frac1x\quad\text{на }(0,+\infty).

Задача 392

f(x)=sin⁡xна (0,+∞).f(x)=\sin x\quad\text{на }(0,+\infty).

Задача 393

f(x)=sin⁡x+cos⁡xна [0,2π].f(x)=\sin x+\cos x\quad\text{на }[0,2\pi].

Задача 394

f(x)=2xна (−1,2).f(x)=2^x\quad\text{на }(-1,2).

Задача 395

f(x)=[x]:а) на (0,2) и б) на [0,2].f(x)=[x]:\quad\text{а) на }(0,2)\text{ и б) на }[0,2].

Задача 396

f(x)=x−[x]на [0,1].f(x)=x-[x]\quad\text{на }[0,1].

Задача 397

Определить колебание функции f(x)=x2f(x)=x^2 на интервалах:а) (1;3);б) (1,9;2,1);в) (1,99;2,01);г) (1,999;2,001).\text{а) }(1;3);\quad
\text{б) }(1{,}9;2{,}1);\quad
\text{в) }(1{,}99;2{,}01);\quad
\text{г) }(1{,}999;2{,}001).

Задача 398

Определить колебание функции f(x)=arctg⁡1xf(x)=\operatorname{arctg}\dfrac1x на интервалах:а) (−1;1);б) (−0,1;0,1);в) (−0,01;0,01);г) (−0,001;0,001).\text{а) }(-1;1);\quad
\text{б) }(-0{,}1;0{,}1);\quad
\text{в) }(-0{,}01;0{,}01);\quad
\text{г) }(-0{,}001;0{,}001).

Задача 399

Пусть m[f]m[f] и M[f]M[f] — соответственно нижняя и верхняя грани функции f(x)f(x) на промежутке (a,b)(a,b).

Доказать, что если f1(x)f_1(x) и f2(x)f_2(x) — функции, определенные на (a,b)(a,b), тоm[f1+f2]≥m[f1]+m[f2],M[f1+f2]≤M[f1]+M[f2].m[f_1+f_2]\geq m[f_1]+m[f_2],
\quad
M[f_1+f_2]\leq M[f_1]+M[f_2].Построить примеры функций f1(x)f_1(x) и f2(x)f_2(x), для которых в последних соотношениях имеет место: а) случай равенства и б) случай неравенства.

Задача 400

Пусть функция f(x)f(x) определена в области [a,+∞)[a,+\infty) и ограничена на каждом сегменте [a,b][a,b]. Положим:m(x)=inf⁡a≤ξ≤xf(ξ),M(x)=sup⁡a≤ξ≤xf(ξ).m(x)=\inf_{a\le\xi\le x}f(\xi),
\quad
M(x)=\sup_{a\le\xi\le x}f(\xi).Построить графики функций y=m(x)y=m(x) и y=M(x)y=M(x), если:а) f(x)=sin⁡x;б) f(x)=cos⁡x.\text{а) }f(x)=\sin x;\quad \text{б) }f(x)=\cos x.

Определения пределов функций

401–407

Задача 401

С помощью «ε\varepsilon — δ\delta»-рассуждений доказать, чтоlim⁡x→2x2=4.\lim_{x\to2}x^2=4.Заполнить следующую таблицу:ε0,10,010,0010,0001…δ\begin{array}{c|ccccc}
\varepsilon&0{,}1&0{,}01&0{,}001&0{,}0001&\ldots\\ \hline
\delta&&&&&
\end{array}

Задача 402

На языке «EE — δ\delta» доказать, чтоlim⁡x→11(1−x)2=+∞.\lim_{x\to1}\frac1{(1-x)^2}=+\infty.Заполнить следующую таблицу:E10100100010 000…δ\begin{array}{c|ccccc}
E&10&100&1000&10\,000&\ldots\\ \hline
\delta&&&&&
\end{array}

Задача 403

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:а) lim⁡x→af(x)=b;б) lim⁡x→a−0f(x)=b;в) lim⁡x→a+0f(x)=b.\text{а) }\lim_{x\to a}f(x)=b;\quad
\text{б) }\lim_{x\to a-0}f(x)=b;\quad
\text{в) }\lim_{x\to a+0}f(x)=b.Привести соответствующие примеры.
Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения и привести соответствующие примеры.

Задача 404

а) lim⁡x→∞f(x)=b;б) lim⁡x→−∞f(x)=b;в) lim⁡x→+∞f(x)=b.\text{а) }\lim_{x\to\infty}f(x)=b;\quad
\text{б) }\lim_{x\to-\infty}f(x)=b;\quad
\text{в) }\lim_{x\to+\infty}f(x)=b.

Задача 405

а) lim⁡x→af(x)=∞;б) lim⁡x→af(x)=−∞;в) lim⁡x→af(x)=+∞;г) lim⁡x→a−0f(x)=∞;д) lim⁡x→a−0f(x)=−∞;е) lim⁡x→a−0f(x)=+∞;ж) lim⁡x→a+0f(x)=∞;з) lim⁡x→a+0f(x)=−∞;и) lim⁡x→a+0f(x)=+∞.\begin{array}{ll}
\text{а) }\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty; &
\text{б) }\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=-\infty;\\[1mm]
\text{в) }\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty; &
\text{г) }\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty;\\[1mm]
\text{д) }\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=-\infty; &
\text{е) }\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=+\infty;\\[1mm]
\text{ж) }\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty; &
\text{з) }\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=-\infty;\\[1mm]
\text{и) }\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=+\infty.
\end{array}

Задача 406

а) lim⁡x→∞f(x)=∞;б) lim⁡x→∞f(x)=−∞;в) lim⁡x→∞f(x)=+∞;г) lim⁡x→−∞f(x)=∞;д) lim⁡x→−∞f(x)=−∞;е) lim⁡x→−∞f(x)=+∞;ж) lim⁡x→+∞f(x)=∞;з) lim⁡x→+∞f(x)=−∞;и) lim⁡x→+∞f(x)=+∞.\begin{array}{ll}
\text{а) }\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty; &
\text{б) }\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty;\\[1mm]
\text{в) }\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty; &
\text{г) }\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty;\\[1mm]
\text{д) }\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty; &
\text{е) }\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty;\\[1mm]
\text{ж) }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\infty; &
\text{з) }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty;\\[1mm]
\text{и) }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
\end{array}

Задача 407

Пусть y=f(x)y=f(x). Сформулировать с помощью неравенств, что значит:а) y→b−0 при x→a;б) y→b−0 при x→a−0;в) y→b−0 при x→a+0;г) y→b+0 при x→a;д) y→b+0 при x→a−0;е) y→b+0 при x→a+0;ж) y→b−0 при x→∞;з) y→b−0 при x→−∞;и) y→b−0 при x→+∞;к) y→b+0 при x→∞;л) y→b+0 при x→−∞;м) y→b+0 при x→+∞.\begin{array}{ll}
\text{а) }y\to b-0\text{ при }x\to a; &
\text{б) }y\to b-0\text{ при }x\to a-0;\\
\text{в) }y\to b-0\text{ при }x\to a+0; &
\text{г) }y\to b+0\text{ при }x\to a;\\
\text{д) }y\to b+0\text{ при }x\to a-0; &
\text{е) }y\to b+0\text{ при }x\to a+0;\\
\text{ж) }y\to b-0\text{ при }x\to\infty; &
\text{з) }y\to b-0\text{ при }x\to-\infty;\\
\text{и) }y\to b-0\text{ при }x\to+\infty; &
\text{к) }y\to b+0\text{ при }x\to\infty;\\
\text{л) }y\to b+0\text{ при }x\to-\infty; &
\text{м) }y\to b+0\text{ при }x\to+\infty.
\end{array}Привести соответствующие примеры.

Алгебраические пределы

408–428

Задача 408

ПустьP(x)=a0xn+a1xn−1+…+an,P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n,где aia_i (i=0,1,…,ni=0,1,\ldots,n; n≥1n\ge1, a0≠0a_0\ne0) — вещественные числа.

Доказать, чтоlim⁡x→∞∣P(x)∣=+∞.\lim_{x\to\infty}|P(x)|=+\infty.

Задача 409

ПустьR(x)=a0xn+a1xn−1+…+anb0xm+b1xm−1+…+bm,R(x)=\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\ldots+b_m},где a0≠0a_0\ne0 и b0≠0b_0\ne0.

Доказать, чтоlim⁡x→∞R(x)={∞,n>m,a0b0,n=m,0,n<m.\lim_{x\to\infty}R(x)=
\begin{cases}
\infty,& n>m,\\[1mm]
\dfrac{a_0}{b_0},& n=m,\\[2mm]
0,& n<m.
\end{cases}

Задача 410

ПустьR(x)=P(x)Q(x),R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},где P(x)P(x) и Q(x)Q(x) — многочлены от xx иP(a)=Q(a)=0.P(a)=Q(a)=0.Какие возможные значения имеет выражениеlim⁡x→aP(x)Q(x) ?\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}\,?
Найти пределы:

Задача 411

а) lim⁡x→0x2−12x2−x−1;б) lim⁡x→1x2−12x2−x−1;в) lim⁡x→∞x2−12x2−x−1.\text{а) }\lim_{x\to0}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1};\quad
\text{б) }\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1};\quad
\text{в) }\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}.
Найти предел:

Задача 412

lim⁡x→0(1+x)(1+2x)(1+3x)−1x.\lim_{x\to0}\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}.

Задача 413

lim⁡x→0(1+x)5−(1+5x)x2+x5.\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^5-(1+5x)}{x^2+x^5}.

Задача 414

lim⁡x→0(1+mx)n−(1+nx)mx2(m и n — натуральные числа).\lim_{x\to0}\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}
\quad(m\text{ и }n\text{ — натуральные числа}).

Задача 415

lim⁡x→∞(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(5x−1)5.\lim_{x\to\infty}\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(5x-1)^5}.

Задача 416

lim⁡x→∞(2x−3)20(3x+2)30(2x+1)50.\lim_{x\to\infty}\frac{(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}}.

Задача 417

lim⁡x→∞(x+1)(x2+1)⋯(xn+1)[(nx)n+1]n+12.\lim_{x\to\infty}\frac{(x+1)(x^2+1)\cdots(x^n+1)}{\bigl[(nx)^n+1\bigr]^{\frac{n+1}{2}}}.

Задача 418

lim⁡x→3x2−5x+6x2−8x+15.\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x^2-8x+15}.

Задача 419

lim⁡x→1x3−3x+2x4−4x+3.\lim_{x\to1}\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}.

Задача 420

lim⁡x→1x4−3x+2x5−4x+3.\lim_{x\to1}\frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}.

Задача 421

lim⁡x→2x3−2x2−4x+8x4−8x2+16.\lim_{x\to2}\frac{x^3-2x^2-4x+8}{x^4-8x^2+16}.

Задача 422

lim⁡x→−1x3−2x−1x5−2x−1.\lim_{x\to-1}\frac{x^3-2x-1}{x^5-2x-1}.

Задача 423

lim⁡x→2(x2−x−2)30(x3−12x+16)10.\lim_{x\to2}\frac{(x^2-x-2)^{30}}{(x^3-12x+16)^{10}}.
Найти пределы:

Задача 424

а) lim⁡x→1x+x2+…+xn−nx−1;б) lim⁡x→1x100−2x+1x50−2x+1.\text{а) }\lim_{x\to1}\frac{x+x^2+\ldots+x^n-n}{x-1};\quad
\text{б) }\lim_{x\to1}\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}.
Найти предел:

Задача 425

lim⁡x→1xm−1xn−1(m и n — натуральные числа).\lim_{x\to1}\frac{x^m-1}{x^n-1}\quad(m\text{ и }n\text{ — натуральные числа}).

Задача 426

lim⁡x→a(xn−an)−nan−1(x−a)(x−a)2(n — натуральное число).\lim_{x\to a}\frac{(x^n-a^n)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}\quad(n\text{ — натуральное число}).

Задача 427

lim⁡x→1xn+1−(n+1)x+n(x−1)2(n — натуральное число).\lim_{x\to1}\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1)^2}\quad(n\text{ — натуральное число}).

Задача 428

lim⁡x→1(m1−xm−n1−xn)(m и n — натуральные числа).\lim_{x\to1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right)\quad(m\text{ и }n\text{ — натуральные числа}).

Пределы сумм и вычисление площади

429–434

Задача 429

lim⁡n→∞1n[(x+an)+(x+2an)+…+(x+(n−1)an)].\lim_{n\to\infty}\frac1n\left[\left(x+\frac an\right)+\left(x+\frac{2a}{n}\right)+\ldots+\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)\right].

Задача 430

lim⁡n→∞1n[(x+an)2+(x+2an)2+…+(x+(n−1)an)2].\lim_{n\to\infty}\frac1n\left[\left(x+\frac an\right)^2+\left(x+\frac{2a}{n}\right)^2+\ldots+\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)^2\right].

Задачи 1–50 из 268