Раздел I. Введение в анализ — § 8

Демидович § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Условия, ответы и подробные решения задач 759–784

Задачи 759–784

26 из 26 с разбором

Свойства и ветви обратных функций

759–773

Задача 759

Найти обратную функцию дробно-линейной функцииy=ax+bcx+d(ad−bc≠0).y=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad(ad-bc\ne0).В каком случае обратная функция совпадает с данной?

Задача 760

Найти обратную функцию x=x(y)x=x(y), еслиy=x+[x].y=x+[x].

Задача 761

Показать, что существует единственная непрерывная функция y=y(x)y=y(x) (−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty), удовлетворяющая уравнению Кеплераy−εsin⁡y=x(0≤ε<1).y-\varepsilon\sin y=x\qquad(0\le\varepsilon<1).

Задача 762

Показать, что уравнениеctg⁡x=kx\operatorname{ctg} x=kxдля каждого вещественного kk (−∞<k<+∞)(-\infty<k<+\infty) имеет в интервале 0<x<π0<x<\pi единственный непрерывный корень x=x(k)x=x(k).

Задача 763

Может ли немонотонная функция y=f(x)y=f(x) (−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty) иметь однозначную обратную функцию? Рассмотреть пример:y={x,если x рационально;−x,если x иррационально.y=\begin{cases}
x,&\text{если }x\text{ рационально};\\
-x,&\text{если }x\text{ иррационально}.
\end{cases}

Задача 764

В каком случае функция y=f(x)y=f(x) и обратная функция x=f−1(y)x=f^{-1}(y) представляют одну и ту же функцию?

Задача 765

Показать, что обратная функция разрывной функцииy=(1+x2)sgn⁡xy=(1+x^2)\operatorname{sgn}xесть функция непрерывная.

Задача 766

Доказать, что если функция f(x)f(x) определена и строго монотонна на сегменте [a,b][a,b] иlim⁡n→∞f(xn)=f(a)(a≤xn≤b),\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)\qquad(a\le x_n\le b),тоlim⁡n→∞xn=a.\lim_{n\to\infty}x_n=a.
Определить однозначные непрерывные ветви обратных функций для функции

Задача 767

y=x2.y=x^2.

Задача 768

y=2x−x2.y=2x-x^2.

Задача 769

y=2x1+x2.y=\frac{2x}{1+x^2}.

Задача 770

y=sin⁡x.y=\sin x.

Задача 771

y=cos⁡x.y=\cos x.

Задача 772

y=tg⁡x.y=\operatorname{tg} x.

Задача 773

Показать, что множество значений непрерывной функцииy=1+sin⁡x,y=1+\sin x,соответствующих интервалу (0<x<2π)(0<x<2\pi), есть сегмент.

Тождества и параметрические функции

774–784

Задача 774

Доказать равенствоarcsin⁡x+arccos⁡x=π2.\arcsin x+\arccos x=\frac\pi2.

Задача 775

Доказать равенствоarctg⁡x+arctg⁡1x=π2sgn⁡x(x≠0).\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg}\frac1x=\frac\pi2\operatorname{sgn}x\qquad(x\ne0).

Задача 776

Доказать теорему сложения арктангенсов:arctan⁡x+arctan⁡y=arctan⁡x+y1−xy+επ\arctan x+\arctan y=
\arctan\frac{x+y}{1-xy}+\varepsilon\piгде ε=ε(x,y)\varepsilon=\varepsilon(x,y) — функция, принимающая одно из трёх
значений: 00, 11, −1-1.

Для каких значений yy при данном значении xx возможен разрыв функции
ε\varepsilon? Построить на плоскости OxyOxy соответствующие области
непрерывности функции ε\varepsilon и определить значение этой функции в
полученных областях.

Задача 777

Доказать теорему сложения арксинусов:arcsin⁡x+arcsin⁡y=(−1)εarcsin⁡(x1−y2+y1−x2)+επ\arcsin x+\arcsin y=(-1)^\varepsilon\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)+\varepsilon\pi(∣x∣≤1, ∣y∣≤1),(|x|\le1,\ |y|\le1),гдеε=0,если xy≤0 или x2+y2≤1,\varepsilon=0,\quad\text{если }xy\le0\ \text{или }x^2+y^2\le1,иε=sgn⁡x,если xy>0 и x2+y2>1.\varepsilon=\operatorname{sgn}x,\quad\text{если }xy>0\ \text{и }x^2+y^2>1.

Задача 778

Доказать теорему сложения арккосинусов:arccos⁡x+arccos⁡y=(−1)εarccos⁡(xy−1−x21−y2)+2πε\arccos x+\arccos y=(-1)^\varepsilon\arccos\left(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)+2\pi\varepsilon(∣x∣≤1, ∣y∣≤1),(|x|\le1,\ |y|\le1),гдеε=0,если x+y≥0,\varepsilon=0,\quad\text{если }x+y\ge0,иε=1,если x+y<0.\varepsilon=1,\quad\text{если }x+y<0.

Задача 779

Построить графики функций:а) y=arcsin⁡x+arcsin⁡1−x2\text{а) }y=\arcsin x+\arcsin\sqrt{1-x^2}б) y=arcsin⁡(2x1−x2)−2arcsin⁡x\text{б) }y=\arcsin\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)-2\arcsin x

Задача 780

Найти функцию y=y(x)y=y(x), заданную уравнениями:x=arctg⁡t,y=arctg⁡t(−∞<t<+∞).x=\operatorname{arctg} t,\qquad y=\operatorname{arctg} t\qquad(-\infty<t<+\infty).В какой области определена эта функция?

Задача 781

Пустьx=ch⁡t,y=sh⁡t(−∞<t<+∞).x=\operatorname{ch}t,\qquad y=\operatorname{sh}t\qquad(-\infty<t<+\infty).В каких областях изменения параметра tt переменную yy можно рассматривать как однозначную функцию от переменной xx? Найти выражения yy для различных областей.

Задача 782

Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы система уравненийx=φ(t),y=ψ(t)(α<t<β)x=\varphi(t),\qquad y=\psi(t)\qquad(\alpha<t<\beta)определяла бы yy как однозначную функцию от xx?

Рассмотреть пример: x=sin⁡2t, y=cos⁡2tx=\sin^2t,\ y=\cos^2t.

Задача 783

При каких условиях две системы уравненийx=φ(t),y=ψ(t)(a<t<b)x=\varphi(t),\qquad y=\psi(t)\qquad(a<t<b)иx=φ(χ(τ)),y=ψ(χ(τ))(α<τ<β)x=\varphi(\chi(\tau)),\qquad y=\psi(\chi(\tau))\qquad(\alpha<\tau<\beta)определяют одну и ту же функцию y=y(x)y=y(x)?

Задача 784

Пусть функции φ(x)\varphi(x) и ψ(x)\psi(x) определены и непрерывны на интервале (a,b)(a,b) иA=inf⁡a<x<bφ(x),B=sup⁡a<x<bφ(x).A=\inf_{a<x<b}\varphi(x),\qquad B=\sup_{a<x<b}\varphi(x).В каком случае существует однозначная функция f(x)f(x), определенная в интервале (A,B)(A,B) и такая, чтоψ(x)=f(φ(x))при a<x<b?\psi(x)=f(\varphi(x))\qquad\text{при }a<x<b?