Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 543

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить предел

\lim_{x\to a}\frac{x^x-a^a}{x-a}, \qquad a>0

Ответ:

a^a(\ln a+1)

Решение

Идея

Представим

x^x=e^{x\ln x}

и разложим дробь на два множителя:

\begin{aligned} \frac{x^x-a^a}{x-a} &=\frac{e^{x\ln x}-e^{a\ln a}} {x\ln x-a\ln a} \cdot \frac{x\ln x-a\ln a}{x-a}\end{aligned}

Первый множитель стремится к

e^{a\ln a}=a^a

. Для второго
множителя используем тождество и результат задачи №~531:

\begin{aligned} \frac{x\ln x-a\ln a}{x-a} &=\ln x+a\frac{\ln x-\ln a}{x-a}\longrightarrow\ln a+1\end{aligned}

Значит,

\lim_{x\to a}\frac{x^x-a^a}{x-a} =a^a(\ln a+1)