Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 543

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 543

Вычислить пределlim⁡x→axx−aax−a,a>0\lim_{x\to a}\frac{x^x-a^a}{x-a},
\qquad a>0
Ответ:aa(ln⁡a+1)a^a(\ln a+1)

Решение

Для x>0x>0 имеем xx=exln⁡xx^x=e^{x\ln x}. Введём приращение
Δ=xln⁡x−aln⁡a.\Delta=x\ln x-a\ln a.По №531 и пределу логарифма Δ→0\Delta\to0. Чтобы не делить на выражение, которое может обращаться в нуль, обозначимE(t)={(et−1)/t,t≠0,1,t=0.E(t)=\begin{cases}(e^t-1)/t,&t\ne0,\\1,&t=0.\end{cases}По №541 функция E(t)E(t) стремится к 11 при t→0t\to0, а равенство et−1=tE(t)e^t-1=tE(t) верно и при t=0t=0. Теперьxx−aax−a=aaE(Δ)xln⁡x−aln⁡ax−a.\frac{x^x-a^a}{x-a}
=a^a E(\Delta)\frac{x\ln x-a\ln a}{x-a}.Последний числитель преобразуем, добавив и вычтя aln⁡xa\ln x:xln⁡x−aln⁡a=(x−a)ln⁡x+a(ln⁡x−ln⁡a).x\ln x-a\ln a=(x-a)\ln x+a(\ln x-\ln a).Значит,xln⁡x−aln⁡ax−a=ln⁡x+aln⁡x−ln⁡ax−a⟶ln⁡a+a⋅1a=ln⁡a+1.\frac{x\ln x-a\ln a}{x-a}
=\ln x+a\frac{\ln x-\ln a}{x-a}
\longrightarrow\ln a+a\cdot\frac1a=\ln a+1.Первый множитель E(Δ)→1E(\Delta)\to1, и окончательноaa(ln⁡a+1).a^a(\ln a+1).