Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 562

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 562

Найти пределlim⁡x→+∞ln⁡(1+2x)ln⁡(1+3x)\lim_{x\to+\infty}
\ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac3x\right)
Ответ:3ln⁡23\ln2

Решение

Преобразуем первый логарифм, вынеся 2x2^x:ln⁡(1+2x)=xln⁡2+ln⁡(1+2−x).\ln(1+2^x)=x\ln2+\ln(1+2^{-x}).Во втором выделим отношение из №529. При x>0x>0ln⁡(1+2x)ln⁡(1+3/x)=(ln⁡2+ln⁡(1+2−x)x) 3ln⁡(1+3/x)3/x.\begin{aligned}
\ln(1+2^x)\ln(1+3/x)
&=\left(\ln2+\frac{\ln(1+2^{-x})}{x}\right)
\,3\frac{\ln(1+3/x)}{3/x}.
\end{aligned}Первая скобка стремится к ln⁡2\ln2: добавочный логарифм стремится к нулю. Последняя дробь стремится к 11, поскольку 3/x→03/x\to0. Поэтомуlim⁡x→+∞ln⁡(1+2x)ln⁡(1+3/x)=3ln⁡2.\lim_{x\to+\infty}\ln(1+2^x)\ln(1+3/x)=3\ln2.