Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 541

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 541

Вычислить пределlim⁡x→0ax−1x,a>0\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x},
\qquad a>0
Ответ:ln⁡a\ln a

Решение

При a=1a=1 числитель тождественно равен нулю, и ответ равен 0=ln⁡10=\ln1.
Пусть a>0a>0, a≠1a\ne1. Положим t=ax−1t=a^x-1. При x→0x\to0 имеем ax→1a^x\to1, поэтому t→0t\to0. При x≠0x\ne0 число tt не равно нулю, так как ax=1a^x=1 для такого основания только при x=0x=0.

Из 1+t=ax1+t=a^x получаем ln⁡(1+t)=xln⁡a\ln(1+t)=x\ln a. Следовательно,ax−1x=ln⁡a tln⁡(1+t).\frac{a^x-1}{x}
=\ln a\,\frac{t}{\ln(1+t)}.По №529 дробь ln⁡(1+t)/t\ln(1+t)/t стремится к 11, поэтому её обратная тоже стремится к 11. Таким образом,lim⁡x→0ax−1x=ln⁡a.\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a.В частности, при a=ea=e мы получили lim⁡x→0(ex−1)/x=1\lim_{x\to0}(e^x-1)/x=1, без использования производной экспоненты.