Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 541

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 541

Вычислить пределlim⁡x→0ax−1x,a>0\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x},
\qquad a>0
Ответ:ln⁡a\ln a

Решение

Идея

Если a=1a=1, дробь тождественно равна нулю. Пусть a≠1a\ne1. Запишем
ax=exln⁡aa^x=e^{x\ln a} и положим t=xln⁡at=x\ln a. Тогда
ax−1x=exln⁡a−1xln⁡a ln⁡a==et−1t ln⁡a⟶ln⁡a\begin{aligned}
\frac{a^x-1}{x}
&=\frac{e^{x\ln a}-1}{x\ln a}\,\ln a=\\
&=\frac{e^t-1}{t}\,\ln a
\longrightarrow\ln a
\end{aligned}При a=1a=1 формула также даёт ln⁡1=0\ln1=0.
Демидович № 541 — решение и ответ