Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 538

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 538

Вычислить пределlim⁡x→0ln⁡tg⁡(π4+ax)sin⁡bx\lim_{x\to0}
\frac{\ln\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+ax\right)}
{\sin bx}
Ответ:2ab\dfrac{2a}{b} при b≠0b\ne0; при
b=0b=0 выражение не определено

Решение

Идея

Предположим, что b≠0b\ne0. По формуле сложения тангенса

Проверка

tg⁡(π4+u)=1+tg⁡u1−tg⁡u\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+u\right)
=\frac{1+\operatorname{tg} u}{1-\operatorname{tg} u}Поэтому при u→0u\to0ln⁡tg⁡(π4+u)=ln⁡(1+tg⁡u)−ln⁡(1−tg⁡u)∼∼tg⁡u+tg⁡u∼2u\begin{aligned}
\ln\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+u\right)
&=\ln(1+\operatorname{tg} u)-\ln(1-\operatorname{tg} u)\sim\\
&\sim\operatorname{tg} u+\operatorname{tg} u\sim2u
\end{aligned}При u=axu=ax числитель равен 2ax+o(x)2ax+o(x), а
sin⁡bx=bx+o(x)\sin bx=bx+o(x). Следовательно,lim⁡x→0ln⁡tg⁡(π4+ax)sin⁡bx=2ab\lim_{x\to0}
\frac{\ln\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+ax\right)}
{\sin bx}
=\frac{2a}{b}При b=0b=0 знаменатель исходной дроби тождественно равен нулю,
поэтому предел не определён.
Демидович № 538 — решение и ответ