Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 538

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 538

Вычислить пределlim⁡x→0ln⁡tg⁡(π4+ax)sin⁡bx\lim_{x\to0}
\frac{\ln\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+ax\right)}
{\sin bx}
Ответ:2ab\dfrac{2a}{b} при b≠0b\ne0; при
b=0b=0 выражение не определено

Решение

При b=0b=0 знаменатель тождественно равен нулю, и дробь не определена. Пусть b≠0b\ne0. Если a=0a=0, числитель равен ln⁡tg⁡(π/4)=0\ln\operatorname{tg}(\pi/4)=0, и предел равен 00.
Рассмотрим a≠0a\ne0 и положим u=axu=ax. По формуле сложенияtg⁡(π/4+u)=1+tg⁡u1−tg⁡u.\operatorname{tg}(\pi/4+u)=\frac{1+\operatorname{tg}u}{1-\operatorname{tg}u}.При малом ∣u∣|u| обе скобки положительны. Поэтомуln⁡tg⁡(π/4+u)u=\displaystyle \frac{\ln\operatorname{tg}(\pi/4+u)}u\mathrel{=}ln⁡(1+tg⁡u)−ln⁡(1−tg⁡u)u=\displaystyle \frac{\ln(1+\operatorname{tg}u)-\ln(1-\operatorname{tg}u)}u\mathrel{=}[ln⁡(1+tg⁡u)tg⁡u+ln⁡(1−tg⁡u)−tg⁡u]tg⁡uu⟶(1+1)⋅1=\displaystyle \left[\frac{\ln(1+\operatorname{tg}u)}{\operatorname{tg}u}
+\frac{\ln(1-\operatorname{tg}u)}{-\operatorname{tg}u}\right]
\frac{\operatorname{tg}u}u\longrightarrow(1+1)\cdot1\mathrel{=}2.\displaystyle 2.Здесь применены №529 к tg⁡u\operatorname{tg}u и −tg⁡u-\operatorname{tg}u, а также №474б. Возвращаемся к xx:ln⁡tg⁡(π/4+ax)sin⁡bx=ab ln⁡tg⁡(π/4+ax)ax bxsin⁡bx⟶ab⋅2⋅1.\frac{\ln\operatorname{tg}(\pi/4+ax)}{\sin bx}
=\frac ab\,
\frac{\ln\operatorname{tg}(\pi/4+ax)}{ax}\,
\frac{bx}{\sin bx}\longrightarrow\frac ab\cdot2\cdot1.Ответ: 2a/b2a/b при b≠0b\ne0; он верен и при a=0a=0.